Як знайти базис ядра матриці. Формування матриці цільного образу при окремому сприйнятті елементів комплексного об'єкта. Визначники. Обчислення визначників

p align="justify"> З'ясування принципів інтеграції дискретної інформації при роздільному сприйнятті елементів складного об'єкта є актуальною міждисциплінарною проблемою. У статті розглядається процес побудови образу об'єкта, що є комплексом блоків, кожен з яких поєднує набір дрібних елементів. Як досліджуваний об'єкт було обрано конфліктна ситуація, оскільки вона стабільно перебувала у полі уваги за постійної стратегії аналізу інформації. Обставини ситуації були складовими частинами об'єкта і окремо сприймалися як прообрази конфлікту. Завдання даної роботи полягала в математичному вираженні матриці, що відображала образ проблемної ситуації. Вирішення завдання ґрунтувалося на даних візуального аналізу конструкції графічної композиції, елементи якої відповідали ситуаційним обставинам. Розмір і графічні особливості елементів, що вибираються, а також їх розподіл у композиції служили орієнтиром для виділення рядів і стовпців в матриці образу. Дослідження показало, що конструкція матриці визначається, по-перше, поведінковою мотивацією, по-друге, причинно-наслідковими відносинами ситуаційних елементів та послідовністю отримання інформації, а також по-третє – виділенням фрагментів інформації відповідно до їх вагових параметрів. Можна вважати, що зазначені матричний векторний принцип формування образу поведінкової ситуації характерні для побудови образів та інших об'єктів, на які спрямована увага.

візуалізація

сприйняття

дискретність інформації

1. Анохін П.К. Нариси з фізіології функціональних систем. - М.: Медицина, 1985. - 444 с.

2. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра: учеб.для вузів. - 6-те вид. - М.: Фізматліт, 2004. -280 с.

3. Лавров В.В. Мозок та психіка. - СПб.: РГПУ, 1996. - 156 с.

4. Лавров В.В., Лаврова Н.М Вплив агресії на цілісність, цілісність, цінність та суб'єктивність образу конфліктної ситуації // Когнітивна психологія: міждисциплінарні дослідження та інтегративні практики. - СПб.: ВВМ, 2015. - С. 342-347.

5. Лавров В.В., Рудінський А.В. Тріада стратегій обробки інформації при пізнанні неповних зорових образів// Фундаментальні дослідження. - 2014 - № 6 (2). - С. 375-380.

6. Лаврова Н.М., Лавров В.В., Лавров Н.В. Медіація: ухвалення відповідальних рішень. - М: ОППЛ, 2013. - 224 с.

7. Шелепін Ю.Є., Чихман В.М., Фореман Н. Аналіз досліджень сприйняття фрагментованих зображень - цілісне сприйняття та сприйняття за інформативними ознаками // Російський фізіологічний журнал. 2008. - Т. 94. № 7. - С. 758-776.

Результати досліджень сприйняття неповних зображень розширили перспективу вивчення принципів, що визначають інтеграцію дискретної інформації та монтаж цілісних образів. Аналіз особливостей пізнання фрагментованих зображень при пред'явленні кількості фрагментів, що змінюється, дозволив простежити три стратегії побудови цілісного образу в умовах дефіциту інформації. Стратегії відрізнялися за оцінкою значимості готівкових порцій інформації на формування цілісного образу. Інакше висловлюючись, кожна стратегія характеризувалася маніпуляцією ваговими параметрами готівкових порцій інформації. Перша стратегія передбачала рівнозначність фрагментів образу - його упізнання відбувалося після накопичення інформації до рівня, достатнього для повноцінного уявлення щодо об'єкта, що пред'являється. Друга стратегія ґрунтувалася на диференційованому підході до оцінки ваги фрагментів готівкової інформації. Оцінка давалася відповідно до гіпотези, що висувається, щодо сутності об'єкта. Третя стратегія визначалася мотивацією максимального використання готівкової інформації, яка наділялася високою вагою та вважалася ознакою чи прообразом реального об'єкта. Важливим моментом у виконаній роботі з'явився розгляд мозкових механізмів, які забезпечували зміну стратегій залежно від домінуючої емоції та поведінкової мотивації. Маються на увазі неспецифічні системи мозку та гетерогенність нейронних модулів, що працюють під контролем центрального управління. Проведені дослідження, як і ті, що відомі з літературних джерел, залишали відкритим питання принципах розподілу інформації у цілісному образі. Для відповіді питання були потрібні спостереження формуванням образу того об'єкта, у якому тривалий час зосереджено увагу і залишається незмінною обрана стратегія побудови образу. Як такий об'єкт могла служити конфліктна ситуація, оскільки вона стабільно перебувала у полі уваги за незмінної другої стратегії аналізу обставин. Спірні сторони відкидали першу стратегію через збільшення тривалості конфлікту і застосовували третю стратегію, уникаючи помилкових рішень .

Цільданої роботи полягала у з'ясуванні принципів побудови матриці образу з урахуванням елементів інформації, отриманої при роздільному сприйнятті компонентів комплексного об'єкта, який було спрямовано увагу. Вирішували такі завдання: по-перше, вибирали об'єкт, на якому стабільно тривалий час було зосереджено увагу; по-друге, використовували метод візуалізації образу, щоб простежити фрагментацію інформації, отриманої при сприйнятті об'єкта, а потім, по-третє, сформулювати принципи цілісного розподілу. фрагментів у матриці.

Матеріали та методи дослідження

Як багатокомпонентний об'єкт, який стабільно перебував у полі уваги при незмінній стратегії аналізу готівкової інформації, служила проблемна поведінкова ситуація. Проблема була викликана конфліктом у відносинах членів сімей, а також співробітників виробничих та освітніх установ. Експерименти, в яких проводився аналіз способу ситуації, передували медіації, спрямованої на врегулювання протиріч між спірними сторонами. Перед початком медіативних переговорів представники спірних сторін отримували пропозицію брати участь як випробувані в експериментах з використанням методики, що сприяє аналізу ситуації. Методика візуалізації передбачала побудову графічної композиції, яка відбивала конструкцію образу, що виникав при окремому сприйнятті компонентів комплексного об'єкта. Методика служила інструментом дослідження процесів формування цілісного образу набору елементів, відповідних деталей об'єкта. Група піддослідних складалася з 19 жінок та 8 чоловіків віком від 28 до 65 років. Для отримання цілісного візуального образу ситуації піддослідним пропонували зробити такі дії: 1) відновіть у пам'яті обставини конфліктної ситуації - події, відносини з людьми, мотиви власної поведінки та оточуючих; 2) оцініть обставини за значимістю розуміння сутності ситуації; 3) розділіть обставини на сприятливі та несприятливі для вирішення конфлікту та постарайтеся простежити їхній взаємозв'язок; 4) підберіть відповідний, на Вашу думку, графічний елемент (коло, квадрат, трикутник, лінію або точку) для кожної з обставин, що характеризують ситуацію; 5) сформуйте композицію з графічних елементів, враховуючи значущість та взаємозв'язок обставин, що передаються цими елементами, та намалюйте отриману композицію на паперовому аркуші. Графічні композиції піддавалися аналізу - оцінювалася впорядкованість та співвідношення розмірів елементів образу. Випадкові невпорядковані композиції відкидалися, а випробуваним пропонувалося знову розглянути взаємозв'язок ситуаційних обставин. Результати узагальненого аналізу композиція були орієнтиром для формулювання математичного вираження матриці образу.

Результати дослідження та їх обговорення

Кожна графічна композиція, з якої випробовуваний представляв конструкцію образу поведінкової ситуації, була оригінальною. Приклади композицій ілюструються малюнку.

Графічні композиції, що відбивають образи проблемних поведінкових ситуацій, у яких перебували випробувані (кожен елемент композиції відповідає ситуаційним обставинам)

Неповторність композицій свідчила про відповідальний підхід досліджуваних до аналізу ситуацій з урахуванням їх відмінних рис. Кількість елементів у композиції та розмірність елементів, а також конструкція композиції відображали оцінку комплексу обставин.

Після того, як було відзначено оригінальність композицій, дослідження звернулося до виявлення важливих особливостей конструкції образу. Прагнучи до побудови цільної композиції, що відображає образ ситуації, випробувані розподіляли елементи відповідно до своїх індивідуальних уподобань, а також з урахуванням причинно-наслідкових відносин обставин та поєднання обставин за часом. Сім піддослідних воліли монтувати композицію у вигляді малюнка, побудова якого визначалося заздалегідь складеним образним планом. На рис. 1 (а, б, г) надаються приклади таких композицій. Двоє піддослідних перед складанням композиції обрали ідею, покладену основою плану, свідомо, а п'ятеро інтуїтивно, не даючи логічного пояснення, чому зупинилися обраному варіанті. Інші двадцять піддослідних створювали схематичну композицію, звертаючи увагу лише причинно-наслідкові зв'язку обставин і поєднання обставин за часом (рис. 1, в, д, е). Пов'язані та збігаються за часом обставини поєднувалися у композиції. В експериментах не проводилася інтерпретація сутності конфлікту з використанням даних графічної композиції. Така інтерпретація здійснювалася згодом у рамках медіації, коли з'ясовувалась готовність сторін до переговорів.

Аналіз композицій дозволив простежити як відмінність, а й універсальність принципів формування образу ситуації. По-перше, композиції складалися з графічних елементів, кожен з яких відображав обставини, які мали спільність. Спільність обставин була зумовлена ​​причинно-наслідковими та тимчасовими відносинами. По-друге, обставини мали неоднакову значимість розуміння сутності проблемної ситуації. Тобто обставини відрізнялися за ваговими параметрами. Високо значущі обставини зображалися графічними елементами у збільшеному розмірі, порівняно з менш значущими. Зазначені особливості образу враховували при складанні матриці образу. Мається на увазі, що розмір і графічні особливості елементів, що вибираються, а також їх просторове положення в графічній композиції служили орієнтиром для побудови інформаційної матриці, що відображала образ ситуації і була його математичною моделлю. Прямокутна матриця, подана у вигляді таблиці, розділена на рядки та стовпці . Стосовно формованого образу проблемної ситуації в матриці виділяли рядки, в яких знаходилися зважені елементи прообразів, об'єднані причинно-наслідковими та тимчасовими відносинами, і стовпці, що містять елементні дані, що відрізняються за ваговими параметрами.

(1)

Кожен окремий рядок відображав формування частини образу або, інакше кажучи, прообраз об'єкта. Що більше рядків і що більше m, то тотальніше сприймався об'єкт, оскільки повніше враховувалися структурні і функціональні властивості, які служили його прообразами. Кількість стовпців n визначалося кількістю деталей, що відзначаються під час побудови прообразу. Можна вважати, що чим більше було накопичено інформаційних фрагментів високої та низької ваги, тим повніше прообраз відповідав реальності. Матриця (1) характеризувалася динамічності, оскільки її мірність змінювалася відповідно до повноти образу сприйманого об'єкта.

Тут доречно відзначити, що повнота не є єдиним показником якості образу. Образи, представлені на полотнах художників, найчастіше програють фотографії з деталізації та за відповідністю реальності, але при цьому можуть перевершувати асоціацію з іншими образами, збудження уяви та провокацію емоцій. Зроблене зауваження допомагає зрозуміти значення параметрів amn, що позначають вагу інформаційних фрагментів. Збільшення ваги нівелювало нестачу готівки. Як показало дослідження стратегій подолання невизначеності, визнання високої значущості готівкових фрагментів інформації прискорювало прийняття рішень у проблемній ситуації.

Отже, процес формування цільного образу піддається інтерпретації, якщо співвіднести його з маніпуляцією інформацією рамках матриці. Маніпуляція виражається довільною або мимовільною (свідомою цілеспрямованою або інтуїтивною несвідомою) зміною вагових параметрів інформаційних фрагментів, тобто зміною величини amn. При цьому збільшується або зменшується величина bm, яка характеризує значущість прообразу і одночасно змінюється результуючий образ br. Якщо звернутися до матричної моделі формування образу, що охоплює сукупність даних щодо об'єкта, організація образу описується наступним чином. Позначимо вектор прообразів, що містить m компонент через

де Т - знак транспонування, а кожен елемент вектора прообразів має вигляд:

Тоді вибір результуючого образу можна здійснити за правилом Лапласа:

де br - кінцевий результат формування цільного образу, що має своїми компонентами значення bm, amn - комплекс значень, що визначають положення та вагові параметри змінної у рядку, що відповідає прообразу. В умовах обмеженої інформації кінцевий результат може збільшуватися за допомогою підвищення вагових значень готівки.

На завершення обговорення представленого матеріалу щодо принципів формування образу звертається увага на необхідність конкретизації терміна «образ», оскільки в літературі відсутнє загальновизнане тлумачення. Термін насамперед означає формування цільної системи інформаційних фрагментів, які відповідають деталям об'єкта, що знаходиться в полі уваги. Причому великі деталі об'єкта відбиваються підсистемами інформаційних фрагментів, що становлять прообрази. Як об'єкт може виступати предмет, явище, процес, і навіть поведінкова ситуація. Формування образу забезпечується асоціаціями одержуваної інформації та тієї, яка міститься в пам'яті і пов'язана з об'єктом, що сприймається. Консолідація інформаційних фрагментів та асоціацій при створенні образу реалізується в рамках матриці, конструкція та вектор якої вибираються свідомо чи інтуїтивно. Вибір залежить від переваг, що задаються мотиваціями поведінки. Тут особливо звертається увага на основний момент – дискретність інформації, що використовується для монтажу цільної матриці образу. Цілісність, як це показано, забезпечується неспецифічними системами мозку, що контролюють процеси аналізу отриманої інформації та її інтеграції в пам'яті. Цілісність може виникнути при мінімальних значеннях n і m, рівних одиниці. Образ набуває високої цінності з допомогою збільшення вагових параметрів готівкової інформації, а повнота образу зростає зі збільшенням значень n і m (1).

Висновок

Візуалізація елементів образу дозволила простежити засади його конструкції в умовах окремого сприйняття обставин проблемної поведінкової ситуації. В результаті проведеної роботи було показано, що побудова цільного образу можна розглядати як розподіл інформаційних фрагментів у структурі матриці. Її конструкція та вектор визначаються, по-перше, поведінковою мотивацією, по-друге, причинно-наслідковими відносинами обставин та тимчасовою послідовністю отримання інформації, а також по-третє - виділенням фрагментів інформації відповідно до їх вагових параметрів. Цілісність матриці образу забезпечується інтеграцією дискретної інформації, що відображає об'єкт, що сприймається. Неспецифічні системи мозку складають механізм, відповідальний за інтеграцію інформації в цілісному образі. З'ясування матричних принципів формування образу складного об'єкта розширює перспективу розуміння природи як цілісності, а й інших властивостей образу. Мається на увазі цілісність та збереження образної системи, а також цінність та суб'єктивність, обумовлена ​​нестачею повної інформації щодо об'єкта .

Бібліографічне посилання

Визначення 1.Образом лінійного оператора А називається безліч всіх елементів, представлених у вигляді де.

Образ лінійного оператора А є лінійним підпростором простору. Його розмірність називається рангом оператораА.

Визначення 2.Ядром лінійного оператора А називається безліч всіх векторів, котрим.

Ядро є лінійним підпростором простору Х. Його розмірність називається дефектом оператораА.

Якщо оператор А діє -мірному просторі Х, то справедливе наступне співвідношення + = .

Оператор А називається невиродженимякщо його ядро ​​. Ранг невиродженого оператора дорівнює розмірності простору Х.

Нехай – матриця лінійного перетворення А простору Х у деякому базисі, тоді координати образу та прообразу пов'язані співвідношенням

Тому координати будь-якого вектора задовольняють систему рівнянь

Звідси випливає, що ядро ​​лінійного оператора є лінійною оболонкою фундаментальної системи рішень цієї системи.

Завдання

1. Довести, що ранг оператора дорівнює рангу його матриці у довільному базисі.

Обчислити ядра лінійних операторів, заданих у певному базисі простору Х наступними матрицями:

5. Довести, що .

Обчислити ранг та дефект операторів, заданих наступними матрицями:

6. . 7. . 8. .

3. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ ЛІНІЙНОГО ОПЕРАТОРА

Розглянемо лінійний оператор А, що діє - мірному просторі Х.

Визначення.Число l називається власним значенням оператора А, якщо , такий, що . У цьому вектор називається власним вектором оператора А.

Найважливішим властивістю власних векторів лінійного оператора і те, що власні вектори, відповідні попарно різним власним значенням лінійно незалежні.

Якщо - матриця лінійного оператора А в базисі простору Х, власні значення l і власні вектори оператора А визначаються наступним чином:

1. Власні значення знаходять як корені характеристичного рівняння (рівня алгебри -ой ступеня):

2. Координати всіх лінійно незалежних власних векторів, що відповідають кожному окремому власному значенню, одержують, вирішуючи систему однорідних лінійних рівнянь:

матриця якої має ранг. Фундаментальні рішення системи є вектор – стовпцями з координат власних векторів.

Коріння характеристичного рівняння називають також власними значеннями матриці, а рішення системи - власними векторами матриці.

приклад.Знайти власніевектори та власні значення оператора А, заданого в деякому базисі матрицею

1. Для визначення власних значень складаємо та вирішуємо характеристичне рівняння:

Звідси власне значення, його кратність.

2. Для визначення власних векторів складаємо та вирішуємо систему рівнянь:

Еквівалентна система базисних рівнянь має вигляд

Тому кожен власний вектор є вектор-стовпець , де з - довільна константа.

3.1.Оператор простої структури.

Визначення.Лінійний оператор А, що діє в n – мірному просторі називається оператором простої структури, якщо відповідає рівно n лінійно незалежних власних векторів. У цьому випадку можна побудувати базис простору із власних векторів оператора, в якому матриця оператора має найпростіший діагональний вигляд

де – власні значення оператора. Зрозуміло, що і зворотне: якщо у деякому базисі простору Х матриця оператора має діагональний вигляд, то базис складається з власних векторів оператора.

Лінійний оператор А є оператором простої структури і тоді, коли кожному власному значенню кратності відповідає рівно лінійно незалежних власних векторів. Оскільки власні вектори є рішення системи рівнянь то, отже, кожному кореню характеристичного рівняння кратності має відповідати матриця рангу .

Будь-яка матриця розміру, що відповідає оператору простої структури, подібна до діагональної матриці

де матриця переходу Т від вихідного базису до базису зі своїх векторів має своїми стовпцями вектор-стовпці з координат своїх векторів матриці (оператора А).

приклад.Привести матрицю лінійного оператора до діагонального вигляду

Складемо характеристичне рівняння та знайдемо його коріння.

Звідки власні значення кратності та кратності.

Перше власне значення. Йому відповідають власні вектори, координати яких є

рішенням системи

Ранг даної системи дорівнює 3, тому є лише одне незалежне рішення, наприклад вектор .

Власні вектори, що відповідають, визначаються системою рівнянь

ранг якої дорівнює 1 і, отже, існує три лінійно незалежні рішення, наприклад,

Таким чином, кожному власному значенню кратності відповідає рівно лінійно незалежних власних векторів і, отже, оператор є оператором простої структури. Матриця переходу Т має вигляд

і зв'язок між подібними матрицями та визначається співвідношенням

Завдання

Знайти власні вектори та власні значення

лінійних операторів, заданих у деякому базисі матрицями:

Визначити, які з наступних лінійних операторів можна привести до діагонального вигляду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис та відповідну йому матрицю:

10. Довести, що власні вектори лінійного оператора відповідні різним власним значенням лінійно незалежні.

11. Довести, що якщо лінійний оператор А, що діє , має n різних значень, то будь-який лінійний оператор перестановочний з А, має базисом власних векторів, причому будь-який власний вектор А буде власним і для В.

ІНВАРІАНТНІ ПІДПРОСТОРИ

Визначення 1.. Підпростір L лінійного простору X називається інваріантним щодо оператора А, що діє X, якщо для кожного вектора його образ також належить .

Основні властивості інваріантних підпросторів визначаються такими співвідношеннями:

1. Якщо і є інваріантними підпросторами щодо оператора А, то їх сума та перетин також інваріантні щодо оператора А.

2. Якщо простір Х розкладається в пряму суму підпросторів і () та інваріантно щодо А, то матриця оператора в базисі, який є об'єднанням базисів і є блочна матриця

де - Квадратні матриці, 0 - нульова матриця.

3. У будь-якому інваріантному щодо оператора А підпросторі оператор має хоча б один власний вектор.

приклад 1.Розглянемо ядро ​​деякого оператора А, чинного Х. За визначенням . Нехай. Тоді , оскільки нульовий вектор міститься у кожному лінійному підпросторі. Отже, ядро ​​- інваріантне щодо А підпростір.

приклад 2.Нехай у деякому базисі простору Х оператор А задається матрицею визначаються рівнянням і

5. Довести, що будь-який підпростір, інваріантний щодо невиродженого оператора А, буде інваріантним і щодо зворотного оператора.

6. Нехай лінійне перетворення А -вимірного простору в базисі має діагональну матрицю з різними елементами на діагоналі. Знайти всі підпростори, інваріантні щодо А, та визначити їх число.

Зміна координат вектора та матриці оператора при переході до нового базису

Нехай лінійний оператор діє з простору в себе і нехай в лінійному просторі вибрано два базиси: і Розкладемо "нові" базисні вектори в лінійні комбінації "старих" базисних векторів:

Стояча тут матриця м стовпцем якої є координатний стовпець го базисного вектора в "старому" базисі називається матрицею переходу від "старого" базису до "нового"“. Якщо тепер координати вектора в "старому" базисі, а координати того ж вектора в "новому" базисі, то має місце рівність

Оскільки розкладання по базису єдине, то звідси випливає, що

Отримано наступний результат.

Теорема 1.Координати вектора в базисі та координати того ж вектора в базисі пов'язані співвідношеннями (2), де матриця переходу від "старого" базису до "нового".

Подивимося тепер, як пов'язані між собою матриці і одного й того ж оператора в різних базисах і просторах Матриці і визначаються рівностями.

а в базисі матричної рівності (тут прийняті ті ж позначення, що і (1)). Використовуючи теорему (1), матимемо

оскільки стовпець довільний, то звідси отримуємо рівність

Доведено наступний результат.

Теорема 2.Якщо матриця оператора в базисі, а матриця того ж оператора в базисіто

Зауваження 1.Дві довільні матриці та пов'язані співвідношенням де деяка невироджена матриця називаються подібними матрицями.Таким чином, дві матриці одного і того ж оператора в різних базисах подібні.

приклад 1.Матриця оператора у базисі має вигляд

Знайти матрицю цього оператора у базисі Обчислити координати вектора у базисі

Рішення.Матриця переходу від старого базису до нового та зворотна до неї матриця мають вигляд

тому по теоремі 2 матриця оператора і новий базис буде такий:

Примітка 2.Можна узагальнити цей результат на оператори, що діють із одного лінійного простору до іншого. Нехай оператор діє з лінійного простору в інший лінійний простір і нехай у просторі вибрано два базиси: а в просторі – два базиси і Тоді можна скласти дві матриці та лінійного оператора

і дві матриці та переходу від "старих" базисів до "нових":

Неважко показати, що у цьому випадку має місце рівність

Нехай дано лінійний оператор, що діє з лінійного простору в лінійний простір. Наступні поняття бувають корисними при вирішенні лінійних рівнянь.

Визначення 1. Ядром оператораназивається безліч

Образ оператораназивається безліч

Неважко довести таке твердження.

Теорема 3.Ядро та образ лінійного оператора є лінійними підпросторами просторів і відповідно, причому має місце рівність

Для обчислення ядра оператора треба записати рівняння в матричній формі (вибравши базиси в просторах і відповідно) і вирішити відповідну систему рівнянь алгебри. Пояснимо тепер, як можна обчислити образ оператора.

Нехай матриця оператора в базисах і Позначимо через стовпець матриці матриці Приналежність вектора образу означає, що існують числа такі, що вектор стовпець представляється у вигляді тобто. є елементом простору лінійних комбінацій стовпців матриці Вибравши в цьому просторі базис (наприклад, максимальну сукупність лінійно незалежних стовпців матриці), спочатку обчислимо образ оператора-матриці: а потім побудуємо образ оператора:

Наведемо приклад обчислення ядра та образу оператора, що діє із простору в себе. І тут базиси і збігаються.

приклад 2.Знайти матрицю, ядро ​​та образ оператора проектування на площину (тривимірний простір геометричних векторів).

Рішення.Виберемо у просторі якийсь базис (наприклад, стандартний базис). У цьому базисі матриця оператора проектування виходить із рівності Знайдемо образи базисних векторів. Так як площина проходить через вісь то

Таким чином,

Отже, матриця оператора має вигляд

Ядро оператора-матриці обчислюємо з рівняння

Таким чином,

(довільна постійна).

Образ оператора-матриці натягнуті все лінійно незалежні стовпці матриці тобто.

(довільні постійні).

У векторному просторі V над довільним полем P заданий лінійний оператор .

Визначення9.8. Ядромлінійного оператора  називається безліч векторів простору V, чином яких є нульовий вектор. Прийняте позначення для цієї множини: Ker, тобто.

Ker = {x | (х) = o}.

Теорема 9.7.Ядро лінійного оператора є підпростором простору V.

Визначення 9.9.Розмірність ядра лінійного оператора називається дефектомлінійного оператора. dim Ker = d.

Визначення 9.10.Образомлінійного оператора  називається безліч образів векторів простору V. Позначення для цієї множини Im, тобто. Im = {(х) | х V}.

Теорема 9.8.Образ лінійного оператора є підпростором простору V.

Визначення 9.11.Розмірність образу лінійного оператора називається рангомлінійного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9.Простір Vє прямою сумою ядра та образу заданого у ньому лінійного оператора. Сума рангу та дефекту лінійного оператора дорівнює розмірності простору V.

Приклад 9.3. 1) В просторі R[x] ( 3) знайти ранг та дефект оператора диференціювання. Знайдемо ті багаточлени, похідна яких дорівнює нулю. Це багаточлени нульового ступеня, отже, Ker = {f | f = c) та d= 1. Похідні багаточленів, ступінь яких не перевищує трьох, утворюють безліч багаточленів, ступінь яких не перевищує двох, отже, Im =R[x] ( 2) та r = 3.

2) Якщо лінійний оператор заданий матрицею M(), то для знаходження його ядра треба вирішити рівняння ( х) = о, яке у матричній формі виглядає так: M()[x] = [о]. З цього слід, що базисом ядра лінійного оператора є фундаментальний набір розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь із основною матрицею M(). Систему утворюють образи лінійного оператора складають вектори ( e 1), (e 2), …, (e n). Базис цієї системи векторів дає базис образу лінійного оператора.

9.6. Оборотні лінійні оператори

Визначення9.12. Лінійний оператор  називається оборотнимякщо існує лінійний оператор ψ такий що виконується рівність ψ = ψ = , де  – тотожний оператор.

Теорема 9.10.Якщо лінійний оператор  звернемо, то оператор ψ визначається єдиним чином і називається зворотним для оператора .

У цьому випадку оператор, зворотний для оператора , позначається  –1 .

Теорема 9.11.Лінійний оператор  обернемо тоді і тільки тоді, коли оборотна його матриця M(), при цьому M( –1) = (M()) –1 .

З цієї теореми випливає, що ранг оборотного лінійного оператора дорівнює розмірності простору, а дефект дорівнює нулю.

Приклад 9.4 1) Визначити, чи звернемо лінійний оператор , якщо ( x) = (2х 1 – х 2 , –4х 1 + 2х 2).

Рішення. Складемо матрицю цього лінійного оператора: M() = . Так як
= 0 то матриця M() незворотна, а значить, незворотний і лінійний оператор .

2) Знайти лінійний оператор, зворотний оператору , якщо (x) = (2х 1 + х 2 , 3х 1 + 2х 2).

Рішення.Матриця цього лінійного оператора, рівна M() =
, оборотна, оскільки | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
тому  –1 = (2х 1 – х 2 , –3х 1 + 2х 2).