Пряме ставлення до програмування має дисципліна, яка називається математичною логікою. Основу математичної логіки становить алгебра логіки, чи обчислення висловлювань. Під висловлюванням розуміється будь-яке твердження, щодо якого можна однозначно сказати, істинно воно чи хибно. Наприклад, «Місяць – супутник Землі» – істинно; "5> 3" - істинно; "Москва - столиця Китаю" - хибно; "1 = 0" - хибно. Істина чи брехня є логічними величинами. Логічні значення наведених вище висловлювань однозначно визначені; інакше кажучи, їх значення є логічними константами.
Логічне значення нерівності х< 0, где х - переменная, является переменной величиной. В зависимости от значения х оно может быть либо истиной, либо ложью. В связи с этим возникает понятие логической переменной.
Основи формального апарату математичної логіки створив у середині ХІХ ст. англійський математик Джордж Буль. На його честь обчислення висловлювань називають булевою алгеброю, а логічні величини – булевськими.
Поодинокі висловлювання можуть бути об'єднані у складові логічні формули за допомогою логічних операцій.
Є три основні логічні операції: заперечення, кон'юнкція (логічне множення) та диз'юнкція (логічне додавання).
Операція заперечення позначається в математичній логіці значком і читається як частка не. Це одномісна операція.
Наприклад, ¬ (x = у) читається «не (х і у)». В результаті вийде істина, якщо х не дорівнює у, і брехня, якщо х дорівнює у. Заперечення змінює значення логічної величини протилежне.
Операція кон'юнкції позначається & і читається як частка і . Це двомісна операція. Наприклад, (х > 0) & (х< 1) читается «х больше 0 и х меньше 1». Данная логическая формула примет значение истина, если х (0,1), и ложь - в противном случае. Следовательно, результат конъюнкции - истина, если истинны оба операнда. Знак операції диз'юнкції v читається як частка або. Наприклад, (х = 0) v (х = 1) читається "х дорівнює 0 або х дорівнює 1". Формула дає істину, якщо х – двійкова цифра (0 або 1). Отже, диз'юнкція дає в результаті істину, якщо хоча б один операнд – істина.
У Паскалі логічні значення позначаються службовими словами false (брехня) і true (істина), а ідентифікатор логічного типу – boolean.
Крім величин (констант та змінних) типу boolean логічні значення false, true приймають результати операцій відносини.
Операції відносини (рис. 18) здійснюють порівняння двох операндів і визначають, істинно чи хибно відповідне відношення між ними.
Логічні операції виконуються над операндами булева типу. Є чотири логічні операції: Not - заперечення; And – логічне множення (кон'юнкція); Or - логічне додавання (диз'юнкція).Крім цих трьох обов'язкових операцій у Турбо Паскалі є ще операція - що виключає АБО . Її знак – службове слово Хоr. Це двомісна операція, що у результаті дає значення істина, якщо обидва операнда мають різні логічні значення.
Операції відносини мають найнижчий пріоритет. Тому якщо операндами логічної операції є відносини, їх слід укладати у круглі дужки. Наприклад, математичній нерівності 1 ≤ х ≤ 50 відповідає такий логічний вираз:
(1<=X) And (X<=50)
Логічне вираз є логічна формула, записана мовою програмування. Логічне вираз складається з логічних операндів, пов'язаних логічними операціями та круглими дужками. Результатом обчислення логічного виразу є булева величина (false чи true). Логічними операндами може бути логічні константи, змінні, функції, операції відносини. Один окремий логічний операнд є найпростішою формою логічного вираження.
Приклади логічних виразів (тут d, b, с - логічні змінні; х, у - речові змінні; k - ціла змінна):
Якщо d = true; b = false; c = true; x = 3.0; y=0.5; k=5, то результати обчислення будуть такими:
У прикладі використана логічна функція odd(k). Це функція від цілого аргументу k, яка набуває значення true, якщо значення k непарне, і false, якщо k парне.
Логічний оператор присвоювання має структуру, подану на рис. 19.
Опис презентації ЛОГІЧНІ ВЕЛИЧИНИ, ОПЕРАЦІЇ, ВИРАЗИ. (10 КЛАС) за слайдами
До основних понять логіки ставляться: Висловлювання Логічна величина Логічні операції Логічні висловлювання Формули
Висловлювання (судження) – це оповідальна пропозиція, у якій щось затверджується чи заперечується. З приводу будь-якого висловлювання можна сказати, істинно воно чи хибне. Наприклад: "На вулиці йде дощ" буде істинним або хибним в залежності від стану погоди в даний момент. Істинність висловлювання «Значення більше, ніж» , записаного у вигляді нерівності: > , залежатиме від значень змінних і.
Які із пропозицій є висловлюваннями? Визначити їхню істинність. Якої довжини ця стрічка? Прослухайте повідомлення. Робіть ранкову зарядку! Назвіть пристрій для введення інформації. Хто відсутній? Париж – столиця Англії. Число 11 є простим. 4 + 5 = 10. Без праці не витягнеш і рибку зі ставка. Складіть числа 2 та 5. Деякі ведмеді живуть на півночі. Усі ведмеді – бурі. Чому дорівнює відстань від Москви до Ленінграда?
Логічні величини - це поняття, що виражаються словами: ІСТИНА, БРЕХНЯ (true, false). Отже, істинність висловлювання проявляється через логічні величини. Логічна змінна: символічно позначена логічна величина. Наприклад: якщо відомо, що А, В, Х, Y та ін – змінні логічні величини, то, значить вони можуть набувати значення лише ІСТИНА або БРЕХНЯ. Логічне вираження – просте чи складне висловлювання. Складне висловлювання будується на простих за допомогою логічних операцій (зв'язок)
Логічні операції Кон'юнкція (логічне множення) Двомісна операція, записується у вигляді A & B. Значення такого виразу буде брехня, якщо значення хоча б одного операнда помилкове. Диз'юнкція (логічний додавання) Двомісна операція, записується у вигляді A V B. Значення такого виразу буде ІСТИНА, якщо значення хоча б одного операнда істинно. Заперечення – унарна (одномісна) операція. Записується у вигляді ¬А або Ā.
Логічна формула – формула, що містить лише логічні величини та знаки логічних операцій. Результатом обчислення логічної формули є ІСТИНА чи БРЕХНЯ Послідовність виконання операцій у логічних формулах визначається старшенством операцій. У порядку зменшення старшості логічні операції розташовані так: заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція. З іншого боку, порядок виконання операцій впливають дужки, які можна використовувати у логічних формулах. Наприклад: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В)
Приклад 1: Обчислити значення логічної формули X & Y v X & Z Якщо логічні змінні мають такі значення: Х = БРЕХНЯ, Y = ІСТИНА, Z = ІСТИНА. Рішення: Зазначимо цифрами зверху порядок виконання операцій у формулі: Використовуючи таблицю істинності, обчислимо формулу за кроками: 1. ¬ БРЕХНЯ = ІСТИНА; 2. ІСТИНА & ІСТИНА = ІСТИНА; 3. БРЕХНЯ & ІСТИНА = БРЕХНЯ; 4. ІСТИНА v БРЕХНЯ = ІСТИНА. ¬ X & Y v X & Z
ПРИКЛАД 2 Визначте значення логічного виразу: не (X > Z) і не (X = Y), якщо: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9.
Логічні функції області числових значень Алгебра чисел перетинаються з алгеброю логіки у випадках, коли доводиться перевіряти належність значень алгебраїчних виразів деякому безлічі. Наприклад, належність значення числової змінної Х множини позитивних чиселвиражається через висловлювання: «Х більше за нуль» . Символічно це записується так: Х > 0. У алгебрі такий вираз називається нерівністю, а логіці – ставленням. Відношення Х>0 може бути істинним чи хибним. Якщо Х позитивна величина, воно істинно, якщо негативна, то хибно. У загальному вигляді відношення має таку структуру: Знаки відносин: =; ; >; =;<=.
Ставлення – це просте висловлювання, отже логічна величина. Воно може бути як постійним: 5>0 –завжди ІСТИНА, 3≠ 6: 2 –завжди БРЕХНЯ; так і змінною: a 0) або P(x, y)=(x
Приклад: Записати предикат(логічну функцію) від двох речових аргументів Xі Y , який прийматиме значення ІСТИНА, якщо точка на координатній площині з координатами X і Y лежить всередині одиничного кола з центром на початку координат. 1 1 -1 0 Y X Рішення: З геометричних міркувань зрозуміло, що для всіх точок, що лежать усередині одиничного кола, буде дійсним значення наступної логічної функції: F(X, Y)=(X 2 +Y 2<1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным.
Логічні висловлювання на Паскалі Логічні константи: true (істина), false (брехня). Логічні змінні: описуються типом Boolean. Операції відносини: здійснюють порівняння двох операндів і визначають, істинно чи хибно відповідне відношення між ними. Знаки операцій відносини Логічні операції: not-заперечення; and - Логічне множення (кон'юнкція); or -логічне додавання (диз'юнкція); xor - виняток АБО. Таблиця істинності цих операцій(T- true, F-false) = ; ; >; =;<=. A B not A A and B A or B A xor B T T F T F F F T T
Логічне вираження може складатися з логічних констант та змінних, відносин, логічних операцій. Логічне вираження набуває значення true чи false. Наприклад, логічна формула На Паскалі запишеться у вигляді наступного логічного виразу: X і Y або X і Z , де X, Y, Z - змінні Boolean. Логічні змінні розташовуються у порядку за спаданням старшенства(пріоритету): 1) not 2) and 3) or, xor. Операції відносини мають найнижчий пріоритет. Тому якщо операндами логічної операції є відносини, їх слід укладати в круглі дужки. Наприклад, математичній нерівності 1≤ Х ≤ 50 відповідає такий логічний вираз: (1<=X) and (X<=50)¬ X & Y v X & Z
Логічна функція odd(x) – логічна функція визначення парності аргументу, що дорівнює true , якщо x-непарне, і дорівнює false, якщо x-парне; trunc (x) – цілочислова функція від речового аргументу, що повертає найближче ціле число, що не перевищує x по модулю.
Для правильного запису складного логічного виразу (предикату) потрібно враховувати відносні предикати арифметичних, логічних операцій та операцій відносин, оскільки всі вони можуть бути присутніми у логічному вираженні. За спаданням пріоритету операції розташовуються в наступному порядку: 1. Арифметичні операції: -. (мінус унарний) *, / +, - 2. Логічні операції: not and or, xor 3. Операції відношення: =, >, =,<=
Склала: Антонова Є.П. 2008р.
Слайд 2
Логічні величини
Логічні величини: поняття, що виражаються словами: ІСТИНА, БРЕХНЯ (true, false). Отже, істинність висловлювань виражається через логічні величини. Логічна константа: ІСТИНА або БРЕХНЯ. Логічна змінна: символічно позначена логічна величина. Якщо A,B,X,Y та ін. - Змінні логічні величини, то це означає, що вони можуть набувати значення тільки ІСТИНА або БРЕХНЯ. Логічне вираження - просте чи складне висловлювання. Складне висловлювання будується із простих за допомогою логічних операцій (зв'язок).
Слайд 3
Логічні операції. Кон'юнкція
Кон'юнкція (логічне множення). У російській мові вона виражається спілкою І. У математичній логіці використовуються знаки &///. Кон'юнкція – двомісна операція; записується у вигляді: А /\ В. Значення такого виразу буде брехня, якщо хоча б значення одного з операндів помилкове.
Слайд 4
Логічні операції. Диз'юнкція
Диз'юнкція (логічне додавання). У російській мові цій зв'язці відповідають союз АБО. У математичній логіці вона позначається знаком v. Диз'юнкція – двомісна операція; записується у вигляді: A vB. Значення такого виразу буде ІСТИНА, якщо значення хоча б одного з операндів є істинним.
Слайд 5
Логічні операції. Заперечення
Заперечення. У російській цьому зв'язці відповідає частка НЕ (у деяких висловлюваннях застосовується оборот «невірно, що...»). Заперечення – унарна (одномісна) операція; записується у вигляді: ¬А
Слайд 7
приклад
Розглянемо складне висловлювання: «Число 6 ділиться на 2 і число 6 ділиться на 3». Подати цей вислів у вигляді логічної формули. Позначимо через А простий вислів «число 6 ділиться на 2», а через простий вислів «число 6 ділиться на 3». Тоді відповідна логічна формула має вигляд: А&В. Очевидно, її значення – ІСТИНА.
Слайд 8
Правила виконання логічних операцій
Слайд 9
Завдання 1
Сформулюйте висловлювання звичайною мовою для наступних логічних виразів: 1) (X = 12) і (Y = 12) і (Z = 12); 2) (X 0) або (Y 0); 3) (X х Y 0); 4) (X х Y х Z 0).
Слайд 10
Завдання 2
Визначте значення логічного виразу: немає (X > Z) і немає (X = Y), якщо: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9.
Слайд 11
Завдання 3
Визначте значення логічних змінних а, b с, d, якщо: 1) а і (Марс – планета) – справжнє висловлювання; 2) b і (Марс – планета) – хибне висловлювання; 3) з або (Сонце - супутник Землі) - справжнє висловлювання; 4) d або (Сонце – супутник Землі) – хибне висловлювання.
Вислів (судження) - це оповідальна пропозиція, в якій щось затверджується або заперечується. З приводу будь-якого висловлювання можна сказати істинно воно чи хибно.
Логічні величини: поняття, що виражаються словами: ІСТИНА (true), БРЕХНЯ (false).
Логічна константа: ІСТИНА (true), брехня (false).
Логічна змінна: символічно позначена логічна величина. Отже, якщо відомо, що А, В, Х, У та ін - логічні величини, то це означає, що вони можуть набувати значення тільки ІСТИНА або БРЕХНЯ.
Логічне вираження: простий чи складний вислів. Складні висловлювання будуються із простих з допомогою логічних операцій (зв'язок).
Логічні операції
Кон'юнкція (логічне множення). У російській висловлюється союзом І.
У математичній логіці використовуються знаки & Кон'юнкція - двомісна операція, що записується у вигляді А^В (А, В - операнди). Значення такого виразу буде брехня, якщо хоча б значення одного з операндів помилкове.
Диз'юнкція (логічне додавання). У російській мові виражається союзом АБО.
У математичній логіці використовуються знаки диз'юнкції - двомісна операція, записується у вигляді АВ. Значення такого виразу буде ІСТИНА, якщо хоча б значення одного з операндів є істинним.
Заперечення. У російській мові виражається союзом НЕ (у деяких висловлюваннях застосовується оборот - не так, що…).
У математичній логіці використовуються знаки заперечення - одномісна (унарна) операція, записується у вигляді А або.
Логічна формула (логічне вираз) - формула, що містить лише логічні величини та знаки логічних операцій. Результатом обчислення логічної формули є ІСТИНА або БРЕХНЯ. У логічних формулах часто ІСТИНА представляється як 1, брехня як 0.
Правила виконання логічних операцій відображені у таблиці істинності.
Таблиця істинності
Послідовність виконання логічних операцій на логічних формулах визначається старшинством операцій. Найстарша операція - заперечення (вона виконується раніше за інших), потім йде - кон'юнкція (і), а потім диз'юнкція (або).
Логічні схеми
Зручним способом уявлення логічних виразів є логічні схеми. Ось як зображуються таких схемах три основні логічні операції.
У цій таблиці використані такі позначення:
1 - істина, 0 - брехня, та, або, не - логічні операції.
Приклад1: Намалюйте схему для логічного виразу 1 або 0 та 1. Потім обчисліть значення логічного виразу.
Рішення: Схема - Обчислення:
Приклад2: Дана логічна схема. Побудуйте логічний вираз. Потім обчисліть значення логічного виразу.
Рішення: Дана схема -
Складемо формулу - (1 або 0) та 1. Обчислимо значення за схемою 1 або 0 = 1,
потім 1 та 1 = 1. Значить (1 або 0) та 1 = 1.
Логічна інформація та основи логіки
