Der Maximalwert einer nicht negativen Ganzzahl wird erreicht, wenn alle Zellen Einsen enthalten. Für eine n-Bit-Darstellung ist es gleich

nichtnegative ganze Zahlen. Die Mindestzahl entspricht den acht in den acht Bits der Speicherzelle gespeicherten Nullen und ist gleich Null. Die maximale Anzahl entspricht acht Einheiten und ist gleich

A = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 – 1 = 255 10 .

Bereich der Veränderung nichtnegative ganze Zahlen Zahlen: von 0 bis 255.

Zur Aufbewahrung ganze Zahlen mit Vorzeichen Es werden zwei Speicherzellen (16 Bit) zugewiesen, und das höchstwertige (linke) Bit wird dem Vorzeichen der Zahl zugewiesen (wenn die Zahl positiv ist, wird 0 in das Vorzeichenbit geschrieben, wenn die Zahl negativ ist - 1) .

Die Darstellung positiver Zahlen in einem Computer im Vorzeichen-Größen-Format wird aufgerufen direkter Code Zahlen. Beispielsweise würde die Zahl 2002 10 = 11111010010 2 im 16-Bit-Format wie folgt dargestellt:

Die maximale positive Zahl (die die Zuweisung einer Ziffer pro Vorzeichen ermöglicht) für vorzeichenbehaftete Ganzzahlen in der n-Bit-Darstellung beträgt:

Wird zur Darstellung negativer Zahlen verwendet zusätzlicher Code. Mit zusätzlichem Code können Sie die arithmetische Subtraktionsoperation durch eine Additionsoperation ersetzen, was die Arbeit des Prozessors erheblich vereinfacht und seine Leistung erhöht.

Der Komplementcode einer in n Zellen gespeicherten negativen Zahl A ist 2 n - |A|.

Das Zweierkomplement stellt die Addition des Moduls einer negativen Zahl A zu 0 dar, da in der n-Bit-Computerarithmetik gilt:

2 n - |A| + |A| = 0,

denn in der Computer-n-Bit-Arithmetik ist 2 n = 0. Tatsächlich besteht die binäre Darstellung einer solchen Zahl aus einer Eins und n Nullen, und nur n niederwertige Ziffern, also n Nullen, können in ein n-Bit passen Zelle.

Um den Komplementärcode einer negativen Zahl zu erhalten, können Sie einen ziemlich einfachen Algorithmus verwenden:

1. Schreiben Sie den Modul der Zahl ein direkter Code in n Binärziffern.

2. Holen Rückgabe Code Bei Zahlen werden für diesen Wert alle Bits invertiert (alle Einsen durch Nullen und alle Nullen durch Einsen ersetzt).

3. Fügen Sie eins zum resultierenden Umkehrcode hinzu.

Schreiben wir den zusätzlichen Code der negativen Zahl -2002 für die 16-Bit-Computerdarstellung:

Wenn eine n-Bit-Darstellung einer negativen Zahl A im Zweierkomplementcode verwendet wird, wird das höchstwertige Bit zum Speichern des Vorzeichens der Zahl (Eins) zugewiesen. Die restlichen Ziffern werden als positive Zahlen geschrieben.

Damit eine Zahl positiv ist, muss die folgende Bedingung erfüllt sein:

|A| 2 £ n-1 .

Daher ist der Maximalwert des Moduls der Zahl A in der m-stelligen Darstellung gleich:

Dann ist die minimale negative Zahl:

Definieren wir den Zahlenbereich, in dem gespeichert werden kann Arbeitsspeicher im Format lange vorzeichenbehaftete ganze Zahlen(Für die Speicherung solcher Zahlen sind vier Speicherzellen vorgesehen – 32 Bit).

Die maximale positive ganze Zahl (unter Berücksichtigung der Zuweisung einer Ziffer pro Vorzeichen) ist gleich:

A = 2 31 - 1 = 2 147 483 647 10.

Die minimale negative ganze Zahl ist:

A = -2 31 = - 2 147 483 648 10.

Vorteile der Darstellung von Zahlen im Format mit Fixpunkt sind die Einfachheit und Klarheit der Darstellung von Zahlen sowie die Einfachheit der Algorithmen zur Implementierung arithmetischer Operationen.

Der Nachteil der Darstellung von Zahlen im Format mit Fixpunkt ist ein kleiner Bereich der Darstellung von Größen, der zur Lösung mathematischer, physikalischer, wirtschaftlicher und anderer Probleme, bei denen sowohl sehr kleine als auch sehr große Zahlen verwendet werden, nicht ausreicht.

Darstellung von Zahlen im Gleitkommaformat. Reelle Zahlen werden in einem Computer im Format gespeichert und verarbeitet Gleitkomma. In diesem Fall kann sich die Position des Dezimalpunkts in der Zahl ändern.

Zahlenformat Gleitkomma basiert auf der Exponentialschreibweise, in der jede beliebige Zahl dargestellt werden kann. Die Zahl A lässt sich also wie folgt darstellen:

Zur einheitlichen Darstellung von Zahlen Gleitkomma Es wird eine normalisierte Form verwendet, bei der die Mantisse die Bedingung erfüllt:

1/n £ |m|

Das bedeutet, dass die Mantisse ein echter Bruch sein muss und eine Ziffer ungleich Null nach dem Dezimalpunkt haben muss.

Lassen Sie uns die in natürlicher Form geschriebene Dezimalzahl 555,55 in Exponentialform mit einer normalisierten Mantisse umwandeln:

555,55 = 0,55555 × 10 3.

Hier ist die normalisierte Mantisse: m = 0,55555, Ordnung: n = 3.

Eine Zahl im Gleitkommaformat belegt 4 ( gemeinsame Präzisionszahl) oder 8 Bytes ( Zahl mit doppelter Genauigkeit). Beim Schreiben einer Gleitkommazahl werden Bits zugewiesen, um das Vorzeichen der Mantisse, das Vorzeichen des Exponenten, den Exponenten und die Mantisse zu speichern.

Der Bereich der Zahlenänderungen wird durch die Anzahl der Ziffern bestimmt, die zum Speichern der Reihenfolge der Zahl zugewiesen werden, und durch die Genauigkeit (Zahl). bedeutende Zahlen) wird durch die Anzahl der Bits bestimmt, die zum Speichern der Mantisse zugewiesen sind.

Lassen Sie uns die maximale Anzahl und ihre Genauigkeit für das Format bestimmen gewöhnliche Präzisionszahlen, wenn 8 Bits zum Speichern der Reihenfolge und ihres Vorzeichens und 24 Bits zum Speichern der Mantisse und ihres Vorzeichens zugewiesen werden:

Der maximale Wert der Reihenfolge der Zahl beträgt 1111111 2 = 127 · 10, und daher beträgt der maximale Wert der Zahl:

2 127 = 1,7014118346046923173168730371588 × 10 38.

Der Maximalwert einer positiven Mantisse beträgt:

2 23 - 1 » 2 23 = 2 (10 × 2,3) » 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) » 10 7.

Somit der Maximalwert gewöhnliche Präzisionszahlen unter Berücksichtigung der möglichen Genauigkeit der Berechnungen beträgt 1,701411 × 10 38 (die Anzahl der signifikanten Stellen einer Dezimalzahl ist in diesem Fall auf 7 Stellen begrenzt).

Aufgaben

1.26. Füllen Sie die Tabelle aus, indem Sie negative Dezimalzahlen in Vorwärts-, Rückwärts- und Komplementcodes in 16-Bit-Notation schreiben:

1.27. Sichtbereich definieren ganze Zahlen mit Vorzeichen(2 Byte Speicher werden zugewiesen) im Festkommaformat.

1.28. Bestimmen Sie die maximale Anzahl und deren Genauigkeit für das Format Zahlen mit doppelter Genauigkeit, wenn 11 Bits zum Speichern der Reihenfolge und ihres Vorzeichens und 53 Bits zum Speichern der Mantisse und ihres Vorzeichens zugewiesen werden.

Für reelle Zahlen in mathematischen Berechnungen gelten keine Einschränkungen hinsichtlich des Bereichs und der Genauigkeit der Zahlendarstellung. In Computern werden Zahlen jedoch in Registern und Speicherplätzen mit einer begrenzten Anzahl von Ziffern gespeichert. Deshalb Genauigkeit Darstellung reale Nummern, in einem Auto vorstellbar, ist endlich und die Reichweite ist begrenzt.

Beim Schreiben reeller Zahlen in Programmen ist es üblich, einen Punkt anstelle des üblichen Kommas zu verwenden. Jede reelle Zahl kann in Form von Zahlen mit der Basisordnung des Zahlensystems dargestellt werden.

Beispiel 4.4. Die Dezimalzahl 1,756 in Form von Schreibzahlen mit der Basisreihenfolge des Zahlensystems lässt sich wie folgt darstellen:

1.756 . 10 0 = 0.1756 . 10 1 = 0.01756 . 10 2 = ...

17.56 . 10 -1 = 175.6 . 10 -2 = 1756.0 . 10 -3 = ... .

Gleitkommadarstellung Zahlendarstellung genannt N in einem Zahlensystem mit Basis Q als :

N = m*. q p ,

Wo M - ein Multiplikator, der alle Ziffern der Zahl enthält (Mantisse), P - eine Ganzzahl namens order.

Wenn sich der „Gleitkomma“ in der Mantisse vor der ersten signifikanten Ziffer befindet, wird bei einer festen Anzahl von Ziffern, die der Mantisse zugewiesen sind, die maximale Anzahl signifikanter Ziffern der Zahl aufgezeichnet, d. h. die maximale Genauigkeit der Zahl Darstellung in der Maschine.

Wenn in der Mantisse die erste Ziffer nach dem Punkt (Komma) von Null verschieden ist, wird eine solche Zahl genannt normalisiert .

Mantisse und Ordnung Q Es ist üblich, eine -äre Zahl im Basissystem zu schreiben Q , und die Basis selbst steht im Dezimalsystem.

Beispiel 4.5. Hier sind Beispiele für eine normalisierte Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem:

2178.01 =0.217801 * 10 4

0.0045 =0.45 * 10 -2

Beispiele im Binärformat:

10110,01= 0,1011001 * 2 101 (Reihenfolge 101 2 = 5 10)

Moderne Computer unterstützen mehrere internationale Standardformate zum Speichern echter Gleitkommazahlen mit unterschiedlicher Genauigkeit, haben jedoch alle die gleiche Struktur. Eine reelle Zahl wird in drei Teilen gespeichert: dem Vorzeichen der Mantisse, der verschobenen Reihenfolge und der Mantisse:

Charakteristisch N Die normalisierte -Bit-Zahl wird wie folgt berechnet: Wenn die Reihenfolge zugewiesen ist k Ziffern, dann wird ein Offset von (2 k -1 -1) zum wahren Wert der im Zweierkomplementcode dargestellten Ordnung addiert.

Somit wird eine Ordnung, die Werte im Bereich von -128 bis +127 annimmt, in eine voreingenommene Ordnung im Bereich von 0 bis 255 umgewandelt. Die voreingenommene Ordnung wird als vorzeichenlose Zahl gespeichert, was die Vergleichs-, Additions- und Subtraktionsoperationen von Ordnungen vereinfacht , und vereinfacht auch die Vergleichsoperation der normalisierten Zahlen selbst.

Die Anzahl der der Bestellung zugewiesenen Ziffern beeinflusst den Bereich von der kleinsten Zahl ungleich Null bis zur größten in der Maschine darstellbaren Zahl im gegebenen Format. Offensichtlich ist die Genauigkeit der Zahlendarstellung umso höher, je mehr Ziffern der Mantisse zugeordnet sind. Da bei normalisierten reellen Zahlen das höchstwertige Bit der Mantisse immer 1 ist, wird dieses höchstwertige Bit nicht im Speicher gespeichert.

Jede binäre Ganzzahl, die höchstens enthält M Ziffern können ohne Verzerrung in das reale Format umgewandelt werden.

Tabelle 4.3. Standardformate zur Darstellung reeller Zahlen

Beispiel 4.6. Darstellung normalisierter Zahlen in einem einzigen Format.

Lassen Sie uns veranschaulichen, wie die Zahl 37,16 · 10 gespeichert wird. Bei der Umrechnung in eine Binärzahl ergibt sich keine exakte Übersetzung von 100101,(00101000111101011100) – der in Klammern eingeschlossene Nachkommateil wiederholt sich im Punkt.

Wir konvertieren die Zahl in normalisierte Form: 0,100101(00101000111101011100) * 2 110

Stellen wir eine reelle Zahl im 32-Bit-Format dar:

1. Das Vorzeichen der Zahl ist „+“, also geben wir 0 in das Vorzeichenbit (31) ein;

2. Um die Reihenfolge festzulegen, werden 8 Bits zugewiesen; zum wahren Wert der im Komplementärcode dargestellten Reihenfolge addieren wir den Offset (2 7 -1) = 127. Da die Reihenfolge positiv ist und der direkte Bestellcode mit der zusätzlichen Reihenfolge übereinstimmt, berechnen wir die verschobene Reihenfolge: 00000110 + 01111111=10000101

Wir geben die resultierende verschobene Reihenfolge ein.

3. Wir geben die Mantisse ein und entfernen dabei die höchstwertige Ziffer der Mantisse (sie ist immer gleich 1);

In diesem Beispiel konnten wir nur 24 Bits übertragen; der Rest ging verloren, da die Darstellung der Zahl nicht mehr präzise war.

| Unterrichtsplanung für das akademische Jahr (FSES) | § 1.2. Zahlen in einem Computer darstellen

Lektionen 6 - 7
§ 1.2. Zahlen in einem Computer darstellen

Stichworte:

Entladung
vorzeichenlose Ganzzahldarstellung
vorzeichenbehaftete Ganzzahldarstellung
Darstellung reeller Zahlen

1.2.1. Ganzzahldarstellung

Der Arbeitsspeicher eines Computers besteht aus Zellen, von denen jede ein physikalisches System ist, das aus einer bestimmten Anzahl homogener Elemente besteht. Diese Elemente haben zwei stabile Zustände, von denen einer Null und der andere Eins entspricht. Jedes dieser Elemente dient zum Speichern eines der Bits – einer Ziffer einer Binärzahl. Deshalb wird jedes Zellelement als Bit oder Ziffer bezeichnet (Abb. 1.2).

Reis. 1.2. Gedächtniszelle

Für die Computerdarstellung von Ganzzahlen werden verschiedene Methoden verwendet, die sich in der Anzahl der Ziffern (Ganzzahlen werden normalerweise mit 8, 16, 32 oder 64 Ziffern belegt) und dem Vorhandensein oder Fehlen einer Vorzeichenziffer unterscheiden. Die vorzeichenlose Darstellung kann nur für nicht negative ganze Zahlen verwendet werden; negative Zahlen können nur in vorzeichenbehafteter Form dargestellt werden.

Die vorzeichenlose Darstellung wird für Objekte wie Zelladressen, verschiedene Zähler (z. B. die Anzahl der Zeichen im Text) sowie Zahlen zur Angabe von Datum und Uhrzeit sowie Größen verwendet grafische Bilder in Pixel usw.

Der Maximalwert einer nicht negativen Ganzzahl wird erreicht, wenn alle Bits der Zelle Einsen enthalten. Für eine n-Bit-Darstellung ist es gleich 2 n -1. Die Mindestanzahl entspricht n Nullen, die in n Speicherbits gespeichert sind, und ist gleich Null.

Im Folgenden sind die Maximalwerte für vorzeichenlose n-Bit-Ganzzahlen aufgeführt:

Um eine Computerdarstellung einer vorzeichenlosen Ganzzahl zu erhalten, konvertieren Sie die Zahl einfach in binäres System Notation und ergänzen Sie das resultierende Ergebnis auf der linken Seite mit Nullen zur Standardziffernkapazität.

Beispiel 1. Die Zahl 53 10 = 110101 2 in achtstelliger Darstellung hat die Form:

Die gleiche Zahl 53 in sechzehn Ziffern wird wie folgt geschrieben:

Bei der Darstellung mit einem Vorzeichen wird die höchstwertige (linke) Ziffer dem Vorzeichen der Zahl zugeordnet, die restlichen Ziffern werden der Zahl selbst zugeordnet. Wenn die Zahl positiv ist, wird 0 in das Vorzeichenbit eingefügt, wenn die Zahl negativ ist - 1. Diese Darstellung von Zahlen wird als direkter Code bezeichnet.

In Computern werden direkte Codes verwendet, um positive Zahlen in Speichergeräten zu speichern und Operationen mit positiven Zahlen durchzuführen.

Die Website des Bundeszentrums für Informations- und Bildungsressourcen (http://fcior.edu.ru/) enthält das Informationsmodul „Nummer und ihr Computercode“. Mit dieser Ressource können Sie bekommen Weitere Informationen zum untersuchten Thema.

Um Operationen mit negativen Zahlen durchzuführen, wird zusätzlicher Code verwendet, um die Subtraktionsoperation durch eine Addition zu ersetzen. Den Algorithmus zur Generierung eines Zusatzcodes können Sie mit dem Informationsmodul „Zusatzcode“ auf der Website des Föderalen Zentrums für Informations- und Bildungsressourcen (http://fcior.edu.ru/) herausfinden.

1.2.2. Darstellung reeller Zahlen

Jede reelle Zahl A kann in Exponentialform geschrieben werden:

Wo:

m - Mantisse der Zahl;

p - Nummernreihenfolge.

Beispielsweise kann die Nummer 472 LLC LLC wie folgt dargestellt werden: 4,72 10 8, 47,2 10 7, 472,0 10 6 usw.

Vielleicht sind Sie schon einmal auf die exponentielle Schreibweise von Zahlen beim Rechnen mit einem Taschenrechner gestoßen, als Sie als Antwort Eingaben der folgenden Form erhalten haben: 4,72E+8.

Hier bezeichnet das Zeichen „E“ die Basis des dezimalen Zahlensystems und wird als „mit zehn hoch multiplizieren“ gelesen.

Anhand des obigen Beispiels können Sie erkennen, dass sich die Position des Dezimalpunkts in einer Zahl ändern kann.

Aus Konsistenzgründen wird die Mantisse normalerweise als echter Bruch mit einer Ziffer ungleich Null nach dem Dezimalpunkt geschrieben. In diesem Fall wird die Zahl 472 LLC LLC als 0,472 10 9 dargestellt.

Eine reelle Zahl kann 32 oder 64 Bit im Computerspeicher belegen. In diesem Fall werden Bits zum Speichern des Mantissenvorzeichens, des Ordnungszeichens, der Ordnung und der Mantisse zugewiesen.

Beispiel:

Der Darstellungsbereich reeller Zahlen wird durch die Anzahl der Bits bestimmt, die zum Speichern der Reihenfolge der Zahl zugewiesen werden, und die Genauigkeit wird durch die Anzahl der Bits bestimmt, die zum Speichern der Mantisse zugewiesen werden.

Der Maximalwert der Zahlenreihenfolge für das obige Beispiel ist 1111111 2 = 127 10, und daher ist der Maximalwert der Zahl:

0,11111111111111111111111 10 1111111

Versuchen Sie selbst herauszufinden, was das Dezimaläquivalent dieses Wertes ist.

Für die Lösung wissenschaftlicher und technischer Probleme ist ein breites Spektrum an Darstellungen reeller Zahlen wichtig. Gleichzeitig sollte klar sein, dass Algorithmen zur Verarbeitung solcher Zahlen im Vergleich zu Algorithmen zur Verarbeitung ganzer Zahlen arbeitsintensiver sind.

DAS WICHTIGSTE

Um ganze Zahlen auf einem Computer darzustellen, werden verschiedene Methoden verwendet, die sich in der Anzahl der Ziffern (8, 16, 32 oder 64) und dem Vorhandensein oder Fehlen einer Vorzeichenziffer unterscheiden.

Um eine vorzeichenlose Ganzzahl darzustellen, sollte sie in das binäre Zahlensystem umgewandelt werden und das resultierende Ergebnis sollte auf der linken Seite mit Nullen aufgefüllt werden, um die Standardkapazität zu erreichen.

Bei der Darstellung mit einem Vorzeichen wird die höchstwertige Ziffer dem Vorzeichen der Zahl zugeordnet, die übrigen Ziffern werden der Zahl selbst zugeordnet. Ist die Zahl positiv, wird 0 in das Vorzeichenbit eingefügt, ist die Zahl negativ, dann 1. Positive Zahlen werden im Computer im Direktcode gespeichert, negative Zahlen im Komplementärcode.

Beim Speichern reeller Zahlen in einem Computer werden Bits zugewiesen, um das Vorzeichen der Reihenfolge der Zahl, die Reihenfolge selbst, das Vorzeichen der Mantisse und der Mantisse zu speichern. In diesem Fall wird jede Zahl wie folgt geschrieben:

Wo:

m - Mantisse der Zahl;
q - Basis des Zahlensystems;
p - Nummernreihenfolge.

Fragen und Aufgaben

1. Lesen Sie die Präsentationsmaterialien für den Absatz im elektronischen Anhang des Lehrbuchs. Verwenden Sie diese Materialien, wenn Sie Antworten auf Fragen vorbereiten und Aufgaben erledigen.

2. Wie werden positive und negative ganze Zahlen im Computerspeicher dargestellt?

3. Jede ganze Zahl kann als reelle Zahl betrachtet werden, jedoch mit einem Bruchteil von Null. Begründen Sie die Machbarkeit spezieller Methoden zur Computerdarstellung von ganzen Zahlen.

4. Stellen Sie die Zahl 63 10 im vorzeichenlosen 8-Bit-Format dar.

5. Finden Sie die Dezimaläquivalente von Zahlen mithilfe ihrer direkten Codes, geschrieben im vorzeichenbehafteten 8-Bit-Format:

a) 01001100;
b) 00010101.

6. Welche der Zahlen 443 8, 101010 2, 256 10 können im 8-Bit-Format gespeichert werden?

7. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in natürlicher Form:

a) 0,3800456 10 2;
b) 0,245 10 -3;
c) 1,256900E+5;
d) 9.569120E-3.

8. Schreiben Sie die Zahl 2010.0102 10 als fünf verschiedene Wege in Exponentialform.

9. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in Exponentialform mit einer normalisierten Mantisse – einem echten Bruch, der nach dem Dezimalpunkt eine Ziffer ungleich Null hat:

a) 217.934 10;
b) 75321 10;
c) 0,00101 10.

10. Zeichnen Sie ein Diagramm, das die in diesem Absatz besprochenen Grundkonzepte verbindet.

Numerische Daten werden in einem Computer mithilfe des binären Zahlensystems verarbeitet. Zahlen werden im Computerspeicher im Binärcode, also als Folge von Nullen und Einsen, gespeichert und können im Fest- oder Gleitkommaformat dargestellt werden.

Ganzzahlen werden im Festkommaformat im Speicher gespeichert. Bei diesem Format zur Darstellung von Zahlen wird ein aus acht Speicherzellen (8 Bit) bestehendes Speicherregister zur Speicherung nicht negativer Ganzzahlen zugewiesen. Jede Ziffer einer Speicherzelle entspricht immer derselben Ziffer der Zahl, und das Komma steht rechts nach der niedrigstwertigen Ziffer und außerhalb des Bitrasters. Beispielsweise würde die Zahl 110011012 wie folgt in einem Speicherregister gespeichert:

Tabelle 4

Der Maximalwert einer nichtnegativen Ganzzahl, der in einem Register im Festkommaformat gespeichert werden kann, kann anhand der Formel 2n – 1 ermittelt werden, wobei n die Anzahl der Ziffern der Zahl ist. Die maximale Zahl beträgt 28 - 1 = 25510 = 111111112 und die minimale Zahl 010 = 000000002. Somit liegt der Änderungsbereich bei nichtnegativen Ganzzahlen zwischen 0 und 25510.

Im Gegensatz zum Dezimalsystem verfügt das Binärzahlensystem in der Computerdarstellung einer Binärzahl nicht über Symbole, die das Vorzeichen der Zahl angeben: positiv (+) oder negativ (-), daher sind es zur Darstellung vorzeichenbehafteter Ganzzahlen im Binärsystem zwei Es werden Zahlendarstellungsformate verwendet: Zahlenwertformat mit Vorzeichen und Zweierkomplementformat. Im ersten Fall werden zwei Speicherregister (16 Bit) zum Speichern vorzeichenbehafteter Ganzzahlen zugewiesen, und die höchstwertige Ziffer (ganz links) wird als Vorzeichen der Zahl verwendet: Wenn die Zahl positiv ist, wird 0 in das Vorzeichenbit geschrieben , wenn die Zahl negativ ist, dann 1. Beispielsweise wird die Zahl 53610 = 00000010000110002 in den Speicherregistern in der folgenden Form dargestellt:

Tabelle 5

und eine negative Zahl -53610 = 10000010000110002 in der Form:

Tabelle 6

Die maximale positive Zahl bzw. minimale negative Zahl im Zahlenwertformat mit Vorzeichen (unter Berücksichtigung der Darstellung einer Ziffer pro Vorzeichen) beträgt 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 und der Zahlenbereich wird von - 3276710 bis 32767 sein.

Am häufigsten wird zur Darstellung vorzeichenbehafteter Ganzzahlen im Binärsystem das Zweierkomplement-Codeformat verwendet, mit dem Sie die arithmetische Subtraktionsoperation in einem Computer durch eine Additionsoperation ersetzen können, was die Struktur des Mikroprozessors erheblich vereinfacht und seine Leistung erhöht .

Um negative ganze Zahlen in diesem Format darzustellen, wird der Zweierkomplementcode verwendet, der den Modul einer negativen Zahl zu Null darstellt. Die Konvertierung einer negativen ganzen Zahl in ein Zweierkomplement erfolgt mit den folgenden Operationen:

1) Schreiben Sie den Modul der Zahl im Direktcode in n (n = 16) Binärziffern;

2) Holen Sie sich den umgekehrten Code der Zahl (invertieren Sie alle Ziffern der Zahl, d. h. ersetzen Sie alle Einsen durch Nullen und Nullen durch Einsen);

3) Addiere eins zur niedrigstwertigen Ziffer zum resultierenden Umkehrcode.

Für die Zahl -53610 in diesem Format lautet der Modul beispielsweise 00000010000110002, der Kehrwertcode lautet 1111110111100111 und der Zusatzcode lautet 1111110111101000.

Es muss daran erinnert werden, dass das Komplement einer positiven Zahl die Zahl selbst ist.

Zum Speichern vorzeichenbehafteter Ganzzahlen, die sich von der 16-Bit-Computerdarstellung unterscheiden, wenn sie verwendet werden zwei Speicherregister(Dieses Zahlenformat wird auch als Short-Signed-Integer-Format bezeichnet.) Es werden die Medium- und Long-Signed-Integer-Formate verwendet. Zur Darstellung von Zahlen im mittleren Zahlenformat werden vier Register verwendet (4 x 8 = 32 Bit), und zur Darstellung von Zahlen im langen Zahlenformat werden acht Register verwendet (8 x 8 = 64 Bit). Die Wertebereiche für das mittlere und lange Zahlenformat lauten jeweils: -(231 – 1) ... + 231 – 1 und -(263-1) ... + 263 – 1.

Die computergestützte Darstellung von Zahlen im Festkommaformat hat Vor- und Nachteile. ZU Vorteile umfassen die Einfachheit der Darstellung von Zahlen und Algorithmen zur Implementierung arithmetischer Operationen; die Nachteile sind der endliche Bereich der Darstellung von Zahlen, der zur Lösung vieler Probleme praktischer Natur (mathematisch, wirtschaftlich, physikalisch usw.) möglicherweise nicht ausreicht.

Reelle Zahlen (endliche und unendliche Dezimalzahlen) werden in einem Computer im Gleitkommaformat verarbeitet und gespeichert. Bei diesem Zahlendarstellungsformat kann sich die Position des Dezimalpunkts im Eintrag ändern. Jede reelle Zahl K im Gleitkommaformat kann wie folgt dargestellt werden:

wobei A die Mantisse der Zahl ist; h – Basis des Zahlensystems; p – Nummernreihenfolge.

Der Ausdruck (2.7) für das Dezimalzahlensystem hat die Form:

für binär -

für Oktal -

für hexadezimal -

Diese Form der Zahlendarstellung nennt man auch normal . Bei einer Änderung der Reihenfolge verschiebt sich das Komma in der Zahl, das heißt, es scheint nach links oder rechts zu schweben. Daher heißt die Normalform der Zahlendarstellung Gleitkommaform. Die Dezimalzahl 15,5 kann beispielsweise im Gleitkommaformat wie folgt dargestellt werden: 0,155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155,0 10-1; 1550,0 · 10-2 usw. Diese Form der dezimalen Gleitkommaschreibweise 15,5 wird nicht verwendet, wenn Computerprogramme geschrieben und in einen Computer eingegeben werden (Computereingabegeräte akzeptieren nur lineare Datenaufzeichnung). Darauf aufbauend wird der Ausdruck (2.7) zur Darstellung von Dezimalzahlen und deren Eingabe in den Computer in die Form umgewandelt

wobei P die Reihenfolge der Zahlen ist,

d.h. statt der Basis des Zahlensystems 10 schreiben sie den Buchstaben E, statt eines Kommas einen Punkt und das Multiplikationszeichen wird nicht gesetzt. Somit wird die Zahl 15,5 im Gleitkomma- und Linearformat (Computerdarstellung) wie folgt geschrieben: 0,155E2; 1,55E1; 15,5E0; 155,0E-1; 1550.0E-2 usw.

Unabhängig vom Zahlensystem kann jede Zahl in Gleitkommaform durch eine unendliche Anzahl von Zahlen dargestellt werden. Diese Form der Aufnahme nennt man unnormalisiert . Für eine eindeutige Darstellung von Gleitkommazahlen wird eine normalisierte Schreibweise einer Zahl verwendet, bei der die Mantisse der Zahl die Bedingung erfüllen muss

wobei |A| - der absolute Wert der Mantisse der Zahl.

Bedingung (2.9) bedeutet, dass die Mantisse ein echter Bruch sein muss und eine Ziffer ungleich Null nach dem Dezimalpunkt haben muss, oder mit anderen Worten, wenn die Mantisse nach dem Dezimalpunkt keine Null hat, dann wird die Zahl als normalisiert bezeichnet . Die Zahl 15,5 in normalisierter Form (normalisierte Mantisse) in Gleitkommaform sieht also so aus: 0,155 · 102, d. h. die normalisierte Mantisse ist A = 0,155 und die Ordnung P = 2, oder in der Computerdarstellung die Zahl 0,155E2.

Gleitkommazahlen haben ein festes Format und belegen vier (32 Bit) oder acht Bytes (64 Bit) Computerspeicher. Wenn eine Zahl 32 Bit im Speicher des Computers belegt, handelt es sich um eine Zahl mit regulärer Genauigkeit; wenn sie 64 Bit groß ist, handelt es sich um eine Zahl mit doppelter Genauigkeit. Beim Schreiben einer Gleitkommazahl werden Bits zugewiesen, um das Vorzeichen der Mantisse, das Vorzeichen des Exponenten, die Mantisse und den Exponenten zu speichern. Die Anzahl der der Reihenfolge der Zahl zugewiesenen Ziffern bestimmt den Variationsbereich der Zahlen, und die Anzahl der zum Speichern der Mantisse zugewiesenen Ziffern bestimmt die Genauigkeit, mit der die Zahl angegeben wird.

Bei der Durchführung arithmetischer Operationen (Addition und Subtraktion) an Zahlen im Gleitkommaformat wird das folgende Verfahren (Algorithmus) implementiert:

1) Die Reihenfolge der Zahlen, an denen arithmetische Operationen ausgeführt werden, wird angeglichen (die Reihenfolge einer kleineren absoluten Zahl erhöht sich zur Reihenfolge einer größeren absoluten Zahl, während die Mantisse um den gleichen Betrag abnimmt);

2) Arithmetische Operationen werden an den Mantissen von Zahlen durchgeführt;

3) Das erhaltene Ergebnis wird normalisiert.

Praktischer Teil

Thema: Zahlen auf einem Computer darstellen. Fest- und Gleitkommaformat. Direkter, umgekehrter und komplementärer Code.

Wiederholung: Ganzzahlen in binäres Zahlensystem umwandeln:

13 10 = A 2 Ebenfalls:

13 10 =1101 2

1345 10 =10101000001 2

Darstellung ganzer Zahlen in einem Computer.

Alle von Computern verarbeiteten Informationen werden in binärer Form gespeichert. Wie erfolgt diese Speicherung?

In den Computer eingegebene und während seines Betriebs erzeugte Informationen werden in seinem Speicher gespeichert. Man kann sich Computerspeicher vorstellen als lange Seite, bestehend aus einzelnen Zeilen. Jede dieser Zeilen wird aufgerufen Gedächtniszelle .

Zelle – Hierbei handelt es sich um einen Teil des Computerspeichers, der zur Verarbeitung verfügbare Informationen enthält separates Team Prozessor. Die minimal adressierbare Speicherzelle wird als Byte bezeichnet – 8 Binärziffern. Man nennt es die Sequenznummer eines Bytes Adresse .

Maschinenwort.

Eine Speicherzelle besteht aus einer bestimmten Anzahl homogener Elemente. Jedes Element kann einen von zwei Zuständen annehmen und dient zur Darstellung einer Ziffer einer Zahl. Deshalb wird jedes Zellelement aufgerufen Entladung . Die Nummerierung der Ziffern in einer Zelle erfolgt normalerweise von rechts nach links, die Ziffer ganz rechts hat eine fortlaufende Nummer 0. Dies ist die niederwertige Ziffer der Speicherzelle, die höchstwertige Ziffer hat eine fortlaufende Nummer (n-1). eine n-Bit-Speicherzelle.

Der Inhalt jedes Bits kann entweder 0 oder 1 sein.

Der Inhalt einer Speicherzelle wird aufgerufen Maschinenwort. Die Speicherzelle ist in Ziffern unterteilt, die jeweils eine Ziffer einer Zahl speichern.

Zum Beispiel das Modernste persönliche Computer sind 64-Bit, also ein Maschinenwort und dementsprechend eine Speicherzelle, besteht aus 64 Bit bzw Bits.

Bisschen - die minimale Maßeinheit für Informationen. Jedes Bit kann 0 oder 1 sein. Schlagen auch genannt Entladung Speicherzellen des Computers.

Standardgröße Die kleinste Speicherzelle entspricht acht Bits, also acht Binärziffern. Ein Satz von 8 Bits ist die Grundeinheit der Datendarstellung – ein Byte.

Byte (aus dem Englischen Byte – Silbe) – Teil eines Maschinenwortes, bestehend aus 8 Bits, das in einem Computer als Ganzes verarbeitet wird. Auf dem Bildschirm befindet sich eine Speicherzelle bestehend aus 8 Bits – das ist ein Byte. Die niedrigstwertige Ziffer hat die fortlaufende Nummer 0, die höchstwertige Ziffer hat die fortlaufende Nummer 7.

8 Bit = 1 Byte

Zur Darstellung von Zahlen im Computerspeicher werden zwei Formate verwendet: Festkommaformat Und Gleitkommaformat . Dargestellt im Festkommaformat nur ganze Zahlen , im Gleitkommaformat – reelle Zahlen (Bruchzahlen).

Bei den allermeisten Problemen, die mit Hilfe eines Computers gelöst werden, werden viele Aktionen auf Operationen mit ganzen Zahlen reduziert. Dazu gehören Probleme wirtschaftlicher Natur, bei denen es sich um die Anzahl der Aktien, Mitarbeiter, Teile, Fahrzeug usw. Ganzzahlen werden zur Angabe von Datum und Uhrzeit sowie zur Nummerierung verschiedener Objekte verwendet: Array-Elemente, Datenbankeinträge, Maschinenadressen usw.

Ganzzahlen können in einem Computer mit oder ohne Vorzeichen (positiv oder negativ) dargestellt werden.

Ganzzahlen ohne Vorzeichen gewöhnlichbelegen ein oder zwei Bytes im Speicherund akzeptieren Werte ab 00000000 im Einzelbyte-Format 2 bis 11111111 2 und im Doppelbyte-Format - von 00000000 00000000 2 an 11111111 11111111 2 .

Vorzeichenbehaftete ganze Zahlen Normalerweise belegen sie ein, zwei oder vier Bytes im Computerspeicher, wobei das äußerste linke (höchstwertige) Bit Informationen über das Vorzeichen der Zahl enthält. Das Pluszeichen wird als Null kodiert, das Minuszeichen als Eins.

Die dem Zeichen zugeordnete Ziffer

(in diesem Fall +)

Die höchstwertigen Bits, die im gesamten Byte fehlen, werden mit Nullen aufgefüllt.

IN Computertechnologie Es werden drei Formen der Aufzeichnung (Codierung) von vorzeichenbehafteten Ganzzahlen verwendet:gerade Code , zurück Code , zusätzlich Code .

Direkter Code ist eine Darstellung einer Zahl im binären Zahlensystem, wobei die erste Ziffer dem Vorzeichen der Zahl zugeordnet ist. Wenn die Zahl positiv ist, ist die erste Ziffer eine 0; ist die Zahl negativ, ist die erste Ziffer eine Eins.

Tatsächlich wird Direktcode fast ausschließlich für positive Zahlen verwendet.Um einen direkten Nummerncode zu schreiben, benötigen Sie:

Stellen Sie eine Zahl binär dar

Fügen Sie der vorletzten höchstwertigen Ziffer einer 8-Bit- oder 16-Bit-Zelle Nullen hinzu

Füllen Sie die höchstwertige Ziffer je nach Vorzeichen der Zahl mit Null oder Eins.

Beispiel: Die Zahl 3 10 im direkten Code eines Einzelbyte-Formats wird wie folgt dargestellt:

Hislo -3 10 im direkten Code eines Einzelbyte-Formats sieht es so aus:

Rückgabe Code denn eine positive Zahl im binären Zahlensystem stimmt mit dem Direktcode überein. Bei einer negativen Zahl werden alle Ziffern der Zahl durch ihre Gegensätze ersetzt (1 durch 0, 0 durch 1).umkehren, und in der Vorzeichenziffer wird eins eingetragen.

Für negative Zahlen wird der sogenannte Komplementcode verwendet. Dies liegt an der Bequemlichkeit, Zahlenoperationen mit Computertechnologie durchzuführen.

Zusätzlicher Code Wird hauptsächlich zur Darstellung negativer Zahlen in einem Computer verwendet. Dieser Code erleichtert Computern die Ausführung arithmetischer Operationen.

Sowohl im Komplementärcode als auch im Direktcode wird die erste Ziffer zur Darstellung des Vorzeichens der Zahl verwendet. Die Direkt- und Komplementcodes für positive Zahlen sind gleich. Da der direkte Code fast ausschließlich zur Darstellung positiver Zahlen und der Komplementcode für negative Zahlen verwendet wird, handelt es sich fast immer, wenn in der ersten Ziffer eine 1 steht, um einen Komplementcode. (Null bezeichnet eine positive Zahl und eins bezeichnet eine negative Zahl).

Algorithmus zum Erhalten des Komplementcodes für eine negative Zahl:

1. Finden Sie den direkten Code der Zahl (wandeln Sie die Zahl in das binäre Zahlensystem um, eine vorzeichenlose Zahl).

2. Holen Sie sich einen Rückkehrcode. Ändern Sie jede Null in eine Eins und jede Eins in eine Null (kehren Sie die Zahl um).

3. Addieren Sie 1 zum Umkehrcode

Beispiel: Lassen Sie uns den zusätzlichen Code der Dezimalzahl finden – 47 im 16-Bit-Format.

Wir werden finden binäre Notation Zahlen 47 (direkter Code).

Wichtig!

Für positive Zahlen sind die direkten, inversen und komplementären Codes dasselbe, d. h. direkter Code. Es ist nicht nötig, positive Zahlen umzukehren, um sie auf einem Computer darzustellen!

Warum wird es verwendet?zusätzlicher Code zur Darstellung einer negativen Zahl?

Dies erleichtert die Durchführung mathematischer Operationen. Zum Beispiel haben wir zwei Zahlen, die im direkten Code dargestellt werden. Eine Zahl ist positiv, die andere negativ, und diese Zahlen müssen addiert werden. Sie können sie jedoch nicht einfach falten. Zuerst muss der Computer die Zahlen herausfinden. Nachdem er herausgefunden hat, dass eine Zahl negativ ist, sollte er die Additionsoperation durch die Subtraktionsoperation ersetzen. Dann muss die Maschine bestimmen, welche Zahl im absoluten Wert größer ist, um das Vorzeichen des Ergebnisses herauszufinden und zu entscheiden, was von was subtrahiert werden soll. Als Ergebnis stellt sich heraus komplexer Algorithmus. Es ist viel einfacher, Zahlen zu addieren, wenn die negativen Zahlen in das Zweierkomplement umgewandelt werden.

Praktische Aufgabe:

Übung 1. Notieren Sie die Vorwärts-, Rückwärts- und Komplementcodes der folgenden Dezimalzahlen mit8 BitZelle:

64 10, - 120 10

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Vorwärts-, Rückwärts- und Komplementcodes der folgenden Dezimalzahlen in ein 16-Bit-Raster

57 10 - 117 10 - 200 10