मैट्रिक्स कर्नेल का आधार कैसे खोजें। एक जटिल वस्तु के तत्वों की अलग-अलग धारणा के साथ एक अभिन्न छवि के मैट्रिक्स का निर्माण। निर्धारक। निर्धारकों की गणना

किसी जटिल वस्तु के तत्वों की अलग-अलग धारणा के दौरान अलग-अलग जानकारी के एकीकरण के सिद्धांतों का स्पष्टीकरण एक जरूरी अंतःविषय समस्या है। लेख किसी वस्तु की छवि बनाने की प्रक्रिया पर चर्चा करता है, जो ब्लॉकों का एक जटिल है, जिनमें से प्रत्येक छोटे तत्वों के एक सेट को जोड़ता है। एक संघर्ष की स्थिति को अध्ययन की वस्तु के रूप में चुना गया था, क्योंकि यह जानकारी के विश्लेषण के लिए एक निरंतर रणनीति के साथ लगातार ध्यान के क्षेत्र में थी। स्थिति की परिस्थितियाँ वस्तु के घटक थीं और उन्हें अलग से संघर्ष के प्रोटोटाइप के रूप में माना जाता था। इस कार्य का कार्य एक मैट्रिक्स को गणितीय रूप से व्यक्त करना था जो एक समस्याग्रस्त व्यवहारिक स्थिति की छवि को प्रतिबिंबित करता था। समस्या का समाधान एक ग्राफिक रचना के डिजाइन के दृश्य विश्लेषण के डेटा पर आधारित था, जिसके तत्व स्थितिजन्य परिस्थितियों के अनुरूप थे। चयनित तत्वों का आकार और ग्राफिक विशेषताएं, साथ ही संरचना में उनका वितरण, छवि मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की पहचान करने के लिए एक मार्गदर्शिका के रूप में कार्य करता है। अध्ययन से पता चला कि मैट्रिक्स का डिज़ाइन, सबसे पहले, व्यवहारिक प्रेरणा से, दूसरे, स्थितिजन्य तत्वों के कारण-और-प्रभाव संबंधों और जानकारी प्राप्त करने के क्रम से, और तीसरा, टुकड़ों के चयन से निर्धारित होता है। उनके वजन मापदंडों के अनुसार जानकारी की। यह माना जा सकता है कि व्यवहारिक स्थिति की छवि बनाने के विख्यात मैट्रिक्स वेक्टर सिद्धांत छवियों और अन्य वस्तुओं के निर्माण की विशेषता हैं जिन पर ध्यान दिया जाता है।

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धारणा

जानकारी की विसंगति

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अपूर्ण छवियों की धारणा के अध्ययन के परिणामों ने उन सिद्धांतों के अध्ययन के परिप्रेक्ष्य का विस्तार किया है जो अलग-अलग जानकारी के एकीकरण और पूर्ण छवियों के असेंबल को निर्धारित करते हैं। टुकड़ों की बदलती संख्या के साथ प्रस्तुत किए जाने पर खंडित छवियों की पहचान की विशेषताओं के विश्लेषण से सूचना की कमी की स्थिति में एक पूर्ण छवि के निर्माण के लिए तीन रणनीतियों का पता लगाना संभव हो गया। सुसंगत छवि के निर्माण के लिए जानकारी के उपलब्ध टुकड़ों के महत्व के आकलन में रणनीतियाँ भिन्न थीं। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक रणनीति को जानकारी के उपलब्ध टुकड़ों के वजन मापदंडों में हेरफेर की विशेषता थी। पहली रणनीति छवि के टुकड़ों की समानता के लिए प्रदान की गई - इसकी पहचान प्रस्तुत वस्तु की पूरी समझ के लिए पर्याप्त स्तर तक जानकारी जमा होने के बाद की गई थी। दूसरी रणनीति उपलब्ध जानकारी के टुकड़ों के वजन का आकलन करने के लिए एक विभेदित दृष्टिकोण पर आधारित थी। मूल्यांकन वस्तु के सार के संबंध में सामने रखी गई परिकल्पना के अनुसार दिया गया था। तीसरी रणनीति उपलब्ध जानकारी का अधिकतम उपयोग करने की प्रेरणा से निर्धारित की गई, जिसे अधिक महत्व दिया गया और इसे किसी वास्तविक वस्तु का संकेत या प्रोटोटाइप माना गया। पिछले कार्य में एक महत्वपूर्ण बिंदु मस्तिष्क तंत्र पर विचार था जो प्रमुख भावना और व्यवहारिक प्रेरणा के आधार पर रणनीतियों में बदलाव सुनिश्चित करता है। यह गैर-विशिष्ट मस्तिष्क प्रणालियों और केंद्रीय नियंत्रण के तहत काम करने वाले तंत्रिका मॉड्यूल की विविधता को संदर्भित करता है। आयोजित अध्ययन, साहित्यिक स्रोतों से ज्ञात अध्ययनों की तरह, संपूर्ण छवि में सूचना वितरण के सिद्धांतों के प्रश्न को खुला छोड़ देते हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए, उस वस्तु की छवि के निर्माण का निरीक्षण करना आवश्यक था जिस पर लंबे समय से ध्यान केंद्रित किया गया है और छवि के निर्माण के लिए चुनी गई रणनीति अपरिवर्तित रहती है। एक संघर्ष की स्थिति ऐसी वस्तु के रूप में काम कर सकती है, क्योंकि परिस्थितियों का विश्लेषण करने की दूसरी रणनीति के साथ यह लगातार ध्यान के क्षेत्र में थी। विवाद करने वाले पक्षों ने संघर्ष की अवधि में वृद्धि के कारण पहली रणनीति को अस्वीकार कर दिया और गलत निर्णयों से बचते हुए तीसरी रणनीति को लागू नहीं किया।

लक्ष्ययह कार्य एक जटिल वस्तु के घटकों की अलग-अलग धारणा के माध्यम से प्राप्त जानकारी के तत्वों के आधार पर एक छवि मैट्रिक्स के निर्माण के सिद्धांतों को स्पष्ट करना था, जिस पर ध्यान दिया गया था। हमने निम्नलिखित समस्याओं को हल किया: सबसे पहले, हमने एक ऐसी वस्तु को चुना जिस पर स्थिर लंबे समय तक ध्यान केंद्रित किया गया था, दूसरी बात, हमने वस्तु की धारणा के दौरान प्राप्त जानकारी के विखंडन का पता लगाने के लिए छवि विज़ुअलाइज़ेशन विधि का उपयोग किया, और फिर, तीसरी बात, मैट्रिक्स में अभिन्न वितरण खंडों के सिद्धांतों को तैयार करना।

सामग्री और अनुसंधान विधियाँ

एक समस्याग्रस्त व्यवहारिक स्थिति एक बहुघटक वस्तु के रूप में कार्य करती है जो उपलब्ध जानकारी के विश्लेषण के लिए एक अपरिवर्तित रणनीति के साथ ध्यान के क्षेत्र में स्थिर थी। यह समस्या परिवार के सदस्यों के साथ-साथ औद्योगिक और शैक्षणिक संस्थानों के कर्मचारियों के बीच संबंधों में संघर्ष के कारण हुई थी। जिन प्रयोगों में स्थिति की छवि का विश्लेषण किया गया था, वे विवादित पक्षों के बीच विरोधाभासों को हल करने के उद्देश्य से मध्यस्थता से पहले थे। मध्यस्थता वार्ता शुरू होने से पहले, विवादित पक्षों के प्रतिनिधियों को एक ऐसी तकनीक का उपयोग करके प्रयोगों में विषयों के रूप में भाग लेने का प्रस्ताव मिला जो स्थिति के विश्लेषण की सुविधा प्रदान करती है। विज़ुअलाइज़ेशन तकनीक में एक ग्राफिक रचना का निर्माण शामिल था जो एक जटिल वस्तु के घटकों की अलग-अलग धारणा के दौरान उत्पन्न हुई छवि के निर्माण को प्रतिबिंबित करता था। यह तकनीक वस्तु के विवरण के अनुरूप तत्वों के एक सेट से एक अभिन्न छवि बनाने की प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करती है। विषयों के समूह में 28 से 65 वर्ष की आयु की 19 महिलाएं और 8 पुरुष शामिल थे। स्थिति की संपूर्ण दृश्य छवि प्राप्त करने के लिए, विषयों को निम्नलिखित क्रियाएं करने के लिए कहा गया था: 1) उनकी स्मृति में संघर्ष की स्थिति की परिस्थितियों को पुनर्स्थापित करें - घटनाएं, लोगों के साथ संबंध, उनके स्वयं के व्यवहार और उनके आसपास के लोगों के लिए उद्देश्य; 2) स्थिति के सार को समझने के लिए परिस्थितियों का उनके महत्व के अनुसार मूल्यांकन करें; 3) संघर्ष को सुलझाने के लिए परिस्थितियों को अनुकूल और प्रतिकूल में विभाजित करें और उनके संबंध का पता लगाने का प्रयास करें; 4) आपकी राय में, स्थिति को दर्शाने वाली प्रत्येक परिस्थिति के लिए एक उपयुक्त ग्राफिक तत्व (वृत्त, वर्ग, त्रिकोण, रेखा या बिंदु) का चयन करें; 5) इन तत्वों द्वारा बताई गई परिस्थितियों के महत्व और संबंध को ध्यान में रखते हुए, ग्राफिक तत्वों से एक रचना बनाएं और परिणामी रचना को कागज के एक टुकड़े पर बनाएं। ग्राफिक रचनाओं का विश्लेषण किया गया - छवि तत्वों की क्रमबद्धता और आकार अनुपात का आकलन किया गया। यादृच्छिक, अव्यवस्थित रचनाओं को अस्वीकार कर दिया गया और विषयों को परिस्थितिजन्य परिस्थितियों के अंतर्संबंध पर पुनर्विचार करने के लिए कहा गया। सामान्यीकृत रचना विश्लेषण के परिणाम छवि मैट्रिक्स की गणितीय अभिव्यक्ति तैयार करने के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करते हैं।

शोध परिणाम और चर्चा

प्रत्येक ग्राफिक रचना जिसके माध्यम से विषय ने व्यवहारिक स्थिति की छवि के निर्माण का प्रतिनिधित्व किया, मूल थी। रचनाओं के उदाहरण चित्र में दर्शाए गए हैं।

ग्राफिक रचनाएँ समस्याग्रस्त व्यवहार स्थितियों की छवियों को दर्शाती हैं जिनमें विषय स्थित थे (रचना का प्रत्येक तत्व स्थितिजन्य परिस्थितियों से मेल खाता है)

रचनाओं की विशिष्टता, उनकी विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, स्थितियों के विश्लेषण के लिए विषयों के जिम्मेदार दृष्टिकोण की गवाही देती है। रचना में तत्वों की संख्या और तत्वों के आयाम, साथ ही रचना का डिज़ाइन, परिस्थितियों की जटिलता के मूल्यांकन को दर्शाता है।

रचनाओं की मौलिकता पर ध्यान दिए जाने के बाद, अध्ययन छवि डिज़ाइन की मूलभूत विशेषताओं की पहचान करने की ओर मुड़ गया। स्थिति की छवि को प्रतिबिंबित करने वाली एक अभिन्न रचना बनाने के प्रयास में, विषयों ने अपनी व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के अनुसार तत्वों को वितरित किया, साथ ही परिस्थितियों के कारण-और-प्रभाव संबंधों और समय के साथ परिस्थितियों के संयोजन को भी ध्यान में रखा। सात विषयों ने रचना को एक चित्र के रूप में स्थापित करना पसंद किया, जिसका निर्माण एक पूर्व-तैयार आलंकारिक योजना द्वारा निर्धारित किया गया था। चित्र में. 1 (ए, बी, डी) ऐसी रचनाओं के उदाहरण देता है। रचना की रचना करने से पहले, दो विषयों ने सचेत रूप से उस विचार को चुना जो योजना का आधार बना, और पांच ने सहजता से, बिना कोई तार्किक स्पष्टीकरण दिए कि वे चुने गए विकल्प पर क्यों रुके। शेष बीस विषयों ने एक योजनाबद्ध रचना बनाई, जिसमें केवल परिस्थितियों के कारण-और-प्रभाव संबंधों और समय के साथ परिस्थितियों के संयोजन पर ध्यान दिया गया (चित्र 1, सी, ई, एफ)। रचना में संबंधित एवं संयोगात्मक परिस्थितियों का मिश्रण किया गया है। प्रयोगों ने ग्राफिक संरचना डेटा का उपयोग करके संघर्ष के सार की व्याख्या नहीं की। यह व्याख्या बाद में मध्यस्थता के ढांचे के भीतर की गई, जब बातचीत के लिए पार्टियों की तत्परता निर्धारित की गई।

रचनाओं के विश्लेषण से न केवल अंतर का पता लगाना संभव हुआ, बल्कि किसी स्थिति की छवि बनाने के सिद्धांतों की सार्वभौमिकता भी संभव हुई। सबसे पहले, रचनाओं में ग्राफिक तत्व शामिल थे, जिनमें से प्रत्येक उन परिस्थितियों को प्रतिबिंबित करता था जिनमें समानता थी। परिस्थितियों की समानता कारण-और-प्रभाव और लौकिक संबंधों के कारण थी। दूसरे, समस्या की स्थिति के सार को समझने के लिए परिस्थितियाँ असमान महत्व की थीं। अर्थात् परिस्थितियाँ वजन मापदण्डों में भिन्न थीं। अत्यधिक महत्वपूर्ण परिस्थितियों को कम महत्वपूर्ण परिस्थितियों की तुलना में बढ़े हुए आकार में ग्राफिक तत्वों के साथ चित्रित किया गया था। छवि मैट्रिक्स को संकलित करते समय छवि की उल्लेखनीय विशेषताओं को ध्यान में रखा गया था। इसका मतलब यह है कि चयनित तत्वों का आकार और ग्राफिक विशेषताएं, साथ ही ग्राफिक संरचना में उनकी स्थानिक स्थिति, एक सूचना मैट्रिक्स के निर्माण के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करती है जो स्थिति की छवि को दर्शाती है और इसका गणितीय मॉडल था। एक आयताकार मैट्रिक्स, जिसे तालिका के रूप में दर्शाया गया है, पंक्तियों और स्तंभों में विभाजित है। बनने वाली समस्या की स्थिति की छवि के संबंध में, मैट्रिक्स में पंक्तियों की पहचान की गई, जिसमें प्रोटोटाइप के भारित तत्व शामिल थे, जो कारण-और-प्रभाव और अस्थायी संबंधों से एकजुट थे, और मौलिक डेटा वाले कॉलम जो वजन मापदंडों में भिन्न थे।

(1)

प्रत्येक व्यक्तिगत रेखा छवि के एक भाग या, दूसरे शब्दों में, वस्तु के एक प्रोटोटाइप के गठन को दर्शाती है। जितनी अधिक रेखाएं और जितना बड़ा एम, वस्तु को उतना ही अधिक समग्र रूप से माना जाता था, क्योंकि इसके प्रोटोटाइप के रूप में कार्य करने वाले संरचनात्मक और कार्यात्मक गुणों को अधिक पूरी तरह से ध्यान में रखा गया था। प्रोटोटाइप का निर्माण करते समय कॉलम n की संख्या नोट किए गए विवरणों की संख्या से निर्धारित की गई थी। यह माना जा सकता है कि उच्च और निम्न वजन की जितनी अधिक जानकारी के टुकड़े जमा किए गए, प्रोटोटाइप उतना ही पूरी तरह से वास्तविकता से मेल खाता है। मैट्रिक्स (1) को गतिशीलता की विशेषता थी, क्योंकि इसका आयाम कथित वस्तु की छवि की पूर्णता के अनुसार बदल गया था।

यहां यह ध्यान देना उचित होगा कि पूर्णता छवि गुणवत्ता का एकमात्र संकेतक नहीं है। कलाकारों के कैनवस पर प्रस्तुत छवियां अक्सर विस्तार और वास्तविकता के अनुरूप होने के मामले में तस्वीरों से कमतर होती हैं, लेकिन साथ ही वे अन्य छवियों के साथ मिलकर, कल्पना को उत्तेजित करने और भावनाओं को भड़काने में बेहतर हो सकती हैं। की गई टिप्पणी एएमएन मापदंडों के महत्व को समझने में मदद करती है, जो सूचना अंशों के वजन को इंगित करते हैं। वजन बढ़ने से उपलब्ध डेटा की कमी की भरपाई हो जाती है। जैसा कि अनिश्चितता पर काबू पाने के लिए रणनीतियों के एक अध्ययन से पता चला है, उपलब्ध जानकारी के उच्च महत्व को पहचानने से किसी समस्या की स्थिति में निर्णय लेने में तेजी आती है।

इसलिए, एक अभिन्न छवि बनाने की प्रक्रिया की व्याख्या की जा सकती है यदि हम इसे मैट्रिक्स के भीतर जानकारी के हेरफेर के साथ सहसंबंधित करते हैं। हेरफेर सूचना अंशों के वजन मापदंडों में स्वैच्छिक या अनैच्छिक (सचेत, उद्देश्यपूर्ण या सहज अचेतन) परिवर्तन द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात, एएमएन के मूल्य में परिवर्तन। इस मामले में, मान bm, जो प्रोटोटाइप के महत्व को दर्शाता है, बढ़ता या घटता है, और साथ ही परिणामी छवि br बदल जाती है। यदि हम किसी वस्तु के संबंध में डेटा के एक सेट को कवर करते हुए छवि निर्माण के मैट्रिक्स मॉडल की ओर मुड़ते हैं, तो छवि के संगठन का वर्णन इस प्रकार किया जाता है। आइए हम m घटकों वाले प्रीइमेज के वेक्टर को निरूपित करें

जहां T ट्रांसपोज़िशन चिह्न है, और प्रीइमेज वेक्टर के प्रत्येक तत्व का रूप है:

फिर परिणामी छवि का चुनाव लाप्लास के नियम के अनुसार किया जा सकता है:

जहां br एक ठोस छवि के निर्माण का अंतिम परिणाम है, जिसके घटकों के रूप में bm मान हैं, amn मानों का एक सेट है जो प्रीइमेज के अनुरूप पंक्ति में चर की स्थिति और वजन पैरामीटर निर्धारित करता है . सीमित जानकारी की स्थिति में, उपलब्ध डेटा का महत्व बढ़ाकर अंतिम परिणाम बढ़ाया जा सकता है।

छवि निर्माण के सिद्धांतों के संबंध में प्रस्तुत सामग्री की चर्चा के अंत में, "छवि" शब्द को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित किया जाता है, क्योंकि साहित्य में आम तौर पर स्वीकृत व्याख्या नहीं है। यह शब्द, सबसे पहले, सूचना खंडों की एक अभिन्न प्रणाली का गठन दर्शाता है जो ध्यान के क्षेत्र में वस्तु के विवरण के अनुरूप है। इसके अलावा, वस्तु के बड़े विवरण प्रोटोटाइप बनाने वाले सूचना खंडों के उप-प्रणालियों द्वारा प्रतिबिंबित होते हैं। वस्तु एक वस्तु, घटना, प्रक्रिया, साथ ही एक व्यवहारिक स्थिति भी हो सकती है। एक छवि का निर्माण प्राप्त जानकारी और जो स्मृति में निहित है और कथित वस्तु के साथ जुड़ा हुआ है, के जुड़ाव से सुनिश्चित होता है। एक छवि बनाते समय सूचना अंशों और संघों का समेकन एक मैट्रिक्स के ढांचे के भीतर महसूस किया जाता है, जिसका डिज़ाइन और वेक्टर जानबूझकर या सहज रूप से चुना जाता है। चुनाव व्यवहार की प्रेरणाओं द्वारा निर्धारित प्राथमिकताओं पर निर्भर करता है। यहां, मूल बिंदु पर विशेष ध्यान दिया जाता है - अभिन्न छवि मैट्रिक्स को इकट्ठा करने के लिए उपयोग की जाने वाली जानकारी की विसंगति। जैसा कि दिखाया गया है, अखंडता गैर-विशिष्ट मस्तिष्क प्रणालियों द्वारा सुनिश्चित की जाती है जो प्राप्त जानकारी के विश्लेषण और स्मृति में इसके एकीकरण की प्रक्रियाओं को नियंत्रित करती है। अखंडता n और m के न्यूनतम मूल्यों पर एक के बराबर हो सकती है। उपलब्ध जानकारी के वजन मापदंडों में वृद्धि के कारण छवि उच्च मूल्य प्राप्त करती है, और n और m (1) के मान बढ़ने पर छवि की पूर्णता बढ़ जाती है।

निष्कर्ष

छवि के तत्वों के विज़ुअलाइज़ेशन ने समस्याग्रस्त व्यवहारिक स्थिति की परिस्थितियों की अलग-अलग धारणा की स्थितियों में इसके डिजाइन के सिद्धांतों का पता लगाना संभव बना दिया। किए गए कार्य के परिणामस्वरूप, यह दिखाया गया कि एक पूर्ण छवि के निर्माण को मैट्रिक्स की संरचना में सूचना अंशों के वितरण के रूप में माना जा सकता है। इसका डिज़ाइन और वेक्टर निर्धारित होता है, सबसे पहले, व्यवहारिक प्रेरणा से, दूसरा, परिस्थितियों के कारण-और-प्रभाव संबंधों और जानकारी प्राप्त करने के अस्थायी अनुक्रम से, और तीसरा, उनके वजन मापदंडों के अनुसार जानकारी के टुकड़ों के चयन से। छवि मैट्रिक्स की अखंडता कथित वस्तु को प्रतिबिंबित करने वाली अलग-अलग जानकारी के एकीकरण द्वारा सुनिश्चित की जाती है। गैर-विशिष्ट मस्तिष्क प्रणालियां एक सुसंगत छवि में जानकारी को एकीकृत करने के लिए जिम्मेदार तंत्र का गठन करती हैं। किसी जटिल वस्तु की छवि के निर्माण के मैट्रिक्स सिद्धांतों का स्पष्टीकरण न केवल अखंडता की प्रकृति, बल्कि छवि के अन्य गुणों को भी समझने के परिप्रेक्ष्य का विस्तार करता है। यह छवि प्रणाली की अखंडता और सुरक्षा के साथ-साथ वस्तु के संबंध में पूरी जानकारी की कमी के कारण होने वाले मूल्य और व्यक्तिपरकता को संदर्भित करता है।

ग्रंथ सूची लिंक

परिभाषा 1.एक रैखिक ऑपरेटर ए की छवि फॉर्म में प्रतिनिधित्व करने योग्य सभी तत्वों का सेट है, जहां।

रैखिक ऑपरेटर ए की छवि अंतरिक्ष का एक रैखिक उपस्थान है। इसका आयाम कहलाता है ऑपरेटर रैंकएक।

परिभाषा 2.एक रैखिक ऑपरेटर ए का कर्नेल सभी वैक्टरों का सेट है जिसके लिए।

कर्नेल अंतरिक्ष X का एक रैखिक उपस्थान है। इसका आयाम कहा जाता है ऑपरेटर दोषएक।

यदि ऑपरेटर A -आयामी स्थान X में कार्य करता है, तो निम्नलिखित संबंध + = मान्य है।

ऑपरेटर ए को बुलाया जाता है गैर पतित, यदि यह मूल है . एक गैर-डीजेनरेट ऑपरेटर का रैंक स्पेस एक्स के आयाम के बराबर है।

मान लीजिए किसी आधार पर अंतरिक्ष X के रैखिक परिवर्तन A का मैट्रिक्स है, तो छवि और व्युत्क्रम छवि के निर्देशांक संबंध से संबंधित हैं

इसलिए, किसी भी वेक्टर के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं

यह इस प्रकार है कि एक रैखिक ऑपरेटर का कर्नेल किसी दिए गए सिस्टम के समाधान की मौलिक प्रणाली का एक रैखिक खोल है।

कार्य

1. सिद्ध करें कि किसी ऑपरेटर की रैंक मनमाने आधार पर उसके मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है।

निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा स्पेस एक्स के एक निश्चित आधार में परिभाषित रैखिक ऑपरेटरों के कर्नेल की गणना करें:

5. सिद्ध करो .

निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दिए गए ऑपरेटरों की रैंक और दोष की गणना करें:

6. . 7. . 8. .

3. लीनियर ऑपरेटर के आइजनवेक्टर और आइगेनवैल्यू

आइए हम एक रैखिक संचालिका A पर विचार करें जो -आयामी स्थान X में कार्य करता है।

परिभाषा।संख्या l को संचालिका A का eigenvalue कहा जाता है यदि, जैसे कि। इस मामले में, वेक्टर को ऑपरेटर ए का आइजेनवेक्टर कहा जाता है।

एक रैखिक ऑपरेटर के eigenvectors की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि eigenvectors जोड़ीदार अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र।

यदि अंतरिक्ष X के आधार पर रैखिक ऑपरेटर A का मैट्रिक्स है, तो ऑपरेटर A के eigenvalues ​​​​l और eigenvectors निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं:

1. eigenvalues ​​​​विशेषता समीकरण (वें डिग्री के बीजगणितीय समीकरण) की जड़ों के रूप में पाए जाते हैं:

2. प्रत्येक व्यक्तिगत eigenvalue के अनुरूप सभी रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors के निर्देशांक सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके प्राप्त किए जाते हैं:

जिसके मैट्रिक्स में रैंक है। इस प्रणाली के मूलभूत समाधान ईजेनवेक्टरों के निर्देशांक के कॉलम वेक्टर हैं।

विशेषता समीकरण की जड़ों को मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर भी कहा जाता है, और सिस्टम के समाधानों को मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर कहा जाता है।

उदाहरण।मैट्रिक्स द्वारा एक निश्चित आधार पर निर्दिष्ट ऑपरेटर ए के आइजेनवेक्टर और आइगेनवैल्यू खोजें

1. eigenvalues ​​​​निर्धारित करने के लिए, हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:

इसलिए eigenvalue, इसकी बहुलता।

2. आइजनवेक्टर निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं और हल करते हैं:

बुनियादी समीकरणों की समतुल्य प्रणाली का रूप है

इसलिए, प्रत्येक eigenvector एक कॉलम वेक्टर है, जहां c एक मनमाना स्थिरांक है।

3.1.एक सरल संरचना का संचालक।

परिभाषा।एन-आयामी स्थान में काम करने वाले एक रैखिक ऑपरेटर ए को सरल संरचना का ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह बिल्कुल एन रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर से मेल खाता है। इस मामले में, ऑपरेटर के eigenvectors से एक अंतरिक्ष आधार बनाना संभव है, जिसमें ऑपरेटर मैट्रिक्स का सबसे सरल विकर्ण रूप होता है

ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​कहां हैं। जाहिर है, इसका उलटा भी सच है: यदि स्पेस एक्स के किसी आधार में ऑपरेटर के मैट्रिक्स का विकर्ण रूप है, तो आधार में ऑपरेटर के आइजनवेक्टर होते हैं।

एक रैखिक ऑपरेटर ए सरल संरचना का एक ऑपरेटर है यदि और केवल यदि बहुलता का प्रत्येक आइगेनवैल्यू बिल्कुल रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजेनवेक्टर से मेल खाता है। चूँकि eigenvectors समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान हैं, इसलिए, बहुलता के विशेषता समीकरण की प्रत्येक जड़ को रैंक मैट्रिक्स के अनुरूप होना चाहिए।

एक साधारण संरचना ऑपरेटर के अनुरूप आकार का कोई भी मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान होता है

जहां मूल आधार से आइजनवेक्टरों के आधार तक संक्रमण मैट्रिक्स टी में इसके कॉलम के रूप में मैट्रिक्स (ऑपरेटर ए) के आइजेनवेक्टरों के निर्देशांक से कॉलम वैक्टर होते हैं।

उदाहरण।रैखिक ऑपरेटर मैट्रिक्स को विकर्ण रूप में कम करें

आइए एक अभिलक्षणिक समीकरण बनाएं और उसके मूल खोजें।

बहुलता और बहुलता के स्वदेशी मूल्य कहाँ से आते हैं?

पहला eigenvalue. यह उन eigenvectors से मेल खाता है जिनके निर्देशांक हैं

सिस्टम समाधान

इस प्रणाली की रैंक 3 है, इसलिए केवल एक स्वतंत्र समाधान है, उदाहरण के लिए, वेक्टर।

इसके अनुरूप eigenvectors समीकरणों की प्रणाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

जिसकी रैंक 1 है और इसलिए तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, उदाहरण के लिए,

इस प्रकार, बहुलता का प्रत्येक eigenvalue बिल्कुल रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से मेल खाता है और इसलिए, ऑपरेटर सरल संरचना का एक ऑपरेटर है। संक्रमण मैट्रिक्स टी का रूप है

और समान आव्यूहों के बीच संबंध संबंध द्वारा निर्धारित होता है

कार्य

eigenvectors और eigenvalues ​​​​खोजें

मैट्रिक्स द्वारा एक निश्चित आधार पर परिभाषित रैखिक ऑपरेटर:

निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से किस रैखिक ऑपरेटर को नए आधार पर पारित करके विकर्ण रूप में कम किया जा सकता है। इस आधार और इसके संगत मैट्रिक्स को खोजें:

10. सिद्ध करें कि विभिन्न eigenvalues ​​​​के अनुरूप एक रैखिक ऑपरेटर के eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

11. साबित करें कि यदि एक रैखिक ऑपरेटर ए अभिनय कर रहा है, तो एन अलग-अलग मान हैं, तो कोई भी रैखिक ऑपरेटर बी ए के साथ स्विच करता है, उसके पास ईजेनवेक्टर का आधार होता है, और ए का कोई भी ईजेनवेक्टर भी बी का एक ईजेनवेक्टर होगा।

अपरिवर्तनीय उपस्थान

परिभाषा 1.. एक रैखिक स्थान

अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के मुख्य गुण निम्नलिखित संबंधों द्वारा निर्धारित होते हैं:

1. यदि ऑपरेटर ए के संबंध में और अपरिवर्तनीय उप-स्थान हैं, तो ऑपरेटर ए के संबंध में उनका योग और प्रतिच्छेदन भी अपरिवर्तनीय है।

2. यदि स्थान

वर्ग आव्यूह कहाँ हैं, 0 एक शून्य आव्यूह है।

3. ऑपरेटर ए के संबंध में किसी भी उप-स्थान अपरिवर्तनीय में, ऑपरेटर के पास कम से कम एक आइजनवेक्टर होता है।

उदाहरण 1।आइए, परिभाषा के अनुसार, X में कार्य करने वाले कुछ ऑपरेटर A के कर्नेल पर विचार करें। होने देना । फिर, चूंकि शून्य वेक्टर प्रत्येक रैखिक उप-स्थान में समाहित है। नतीजतन, कर्नेल ए के तहत एक उप-स्थान अपरिवर्तनीय है।

उदाहरण 2.मान लीजिए कि स्पेस एक्स के कुछ आधारों में ऑपरेटर ए को समीकरण द्वारा परिभाषित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

5. साबित करें कि कोई भी उप-स्थान जो गैर-अपक्षयी ऑपरेटर ए के तहत अपरिवर्तनीय है, व्युत्क्रम ऑपरेटर के तहत भी अपरिवर्तनीय होगा।

6. मान लीजिए कि A-आयामी स्थान के रैखिक परिवर्तन के आधार पर विकर्ण पर विभिन्न तत्वों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स होता है। A के अंतर्गत अपरिवर्तनीय सभी उप-स्थान खोजें और उनकी संख्या निर्धारित करें।

नए आधार पर जाने पर ऑपरेटर के वेक्टर और मैट्रिक्स के निर्देशांक बदलना

एक रैखिक ऑपरेटर को अंतरिक्ष से स्वयं में कार्य करने दें और दो आधारों को रैखिक स्थान में चुने जाने दें: और आइए हम "नए" आधार वैक्टर को "पुराने" आधार वैक्टर के रैखिक संयोजनों में विघटित करें:

मैट्रिक्स यहाँ खड़ा है जिसका वां कॉलम "पुराने" आधार में वें आधार वेक्टर का समन्वय कॉलम है, उसे "पुराने" आधार से "नए" में संक्रमण मैट्रिक्स कहा जाता है।“. यदि अब वेक्टर के निर्देशांक "पुराने" आधार पर हैं और उसी वेक्टर के निर्देशांक "नए" आधार पर हैं, तो समानता कायम है

चूंकि आधार में विस्तार अद्वितीय है, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है

निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुआ.

प्रमेय 1.आधार में एक वेक्टर के निर्देशांक और आधार में एक ही वेक्टर के निर्देशांक संबंध (2) से संबंधित होते हैं, जहां "पुराने" आधार से "नए" में संक्रमण मैट्रिक्स होता है।

आइए अब देखें कि कैसे मैट्रिक्स और एक ही ऑपरेटर अलग-अलग आधारों और स्थानों में एक दूसरे से संबंधित होते हैं मैट्रिक्स और समानता द्वारा परिभाषित होते हैं मान लीजिए कि आधार में यह समानता मैट्रिक्स समानता के बराबर है

और मैट्रिक्स समानता के आधार पर (यहां (1) के समान ही नोटेशन का उपयोग किया जाता है)। प्रमेय (1) का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होगा

चूंकि कॉलम मनमाना है, हमें समानता मिलती है

निम्नलिखित परिणाम सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2.यदि किसी ऑपरेटर का मैट्रिक्स आधार में है और उसी ऑपरेटर का मैट्रिक्स आधार में हैवह

नोट 1।दो मनमाना मैट्रिक्स और संबंध से संबंधित कुछ गैर-एकवचन मैट्रिक्स कहां है समान आव्यूह कहलाते हैं।इस प्रकार, अलग-अलग आधारों पर एक ही ऑपरेटर के दो मैट्रिक्स समान होते हैं।

उदाहरण 1।आधार में ऑपरेटर मैट्रिक्स का रूप होता है

आधार में इस ऑपरेटर का मैट्रिक्स ढूंढें, आधार में वेक्टर के निर्देशांक की गणना करें

समाधान।पुराने आधार से नए में संक्रमण मैट्रिक्स और इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स का रूप होता है

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, ऑपरेटर का मैट्रिक्स और नया आधार इस प्रकार होगा:

नोट 2।हम इस परिणाम को एक रैखिक स्थान से दूसरे रैखिक स्थान पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकृत कर सकते हैं। एक ऑपरेटर को एक रैखिक स्थान से दूसरे रैखिक स्थान में कार्य करने दें और अंतरिक्ष में दो आधार चुने जाने दें: और और अंतरिक्ष में - दो आधार और फिर हम दो मैट्रिक्स और रैखिक ऑपरेटर का निर्माण कर सकते हैं

और दो मैट्रिक्स और "पुराने" आधारों से "नए" आधारों में संक्रमण:

यह दिखाना आसान है कि इस मामले में समानता कायम है

आइए हमें एक रैखिक स्थान से एक रैखिक स्थान तक कार्य करने वाला एक रैखिक ऑपरेटर दिया जाए। निम्नलिखित अवधारणाएँ रैखिक समीकरणों को हल करने में उपयोगी हैं।

परिभाषा 1. ऑपरेटर कर्नेलएक सेट कहा जाता है

संचालक छविएक सेट कहा जाता है

निम्नलिखित कथन को सिद्ध करना कठिन नहीं है।

प्रमेय 3.एक रैखिक ऑपरेटर की कर्नेल और छवि रिक्त स्थान के रैखिक उप-स्थान हैं और, क्रमशः, और समानता रखती है

ऑपरेटर के कर्नेल की गणना करने के लिए, समीकरण को मैट्रिक्स रूप में लिखना (रिक्त स्थान में आधार चुनकर और क्रमशः) और समीकरणों की संबंधित बीजगणितीय प्रणाली को हल करना आवश्यक है। आइए अब हम बताएं कि किसी ऑपरेटर की छवि की गणना कैसे की जा सकती है।

मान लीजिए कि ऑपरेटर का मैट्रिक्स आधारों में है और आइए हम मैट्रिक्स के वें कॉलम द्वारा निरूपित करें। एक वेक्टर का एक छवि से संबंधित होने का मतलब है कि ऐसी संख्याएं हैं कि वेक्टर कॉलम को इस प्रकार दर्शाया गया है। मैट्रिक्स कॉलम के रैखिक संयोजनों के स्थान का एक तत्व है (उदाहरण के लिए, रैखिक रूप से स्वतंत्र मैट्रिक्स कॉलम का अधिकतम सेट), हम पहले छवि की गणना करते हैं मैट्रिक्स ऑपरेटर: और फिर ऑपरेटर छवि बनाएं:

आइए हम अंतरिक्ष से स्वयं में कार्य करने वाले एक ऑपरेटर के कर्नेल और छवि की गणना का एक उदाहरण दें। इस मामले में, आधार मेल खाते हैं।

उदाहरण 2.समतल पर प्रक्षेपण ऑपरेटर का मैट्रिक्स, कर्नेल और छवि ढूंढें (ज्यामितीय वैक्टर का त्रि-आयामी स्थान)।

समाधान।आइए हम अंतरिक्ष में कुछ आधार चुनें (उदाहरण के लिए, एक मानक आधार)। इस आधार में, प्रक्षेपण ऑपरेटर का मैट्रिक्स समानता से पाया जाता है आइए आधार वैक्टर की छवियां ढूंढें। चूँकि विमान अक्ष से होकर गुजरता है

इस प्रकार,

इसका मतलब है कि ऑपरेटर मैट्रिक्स का फॉर्म है

मैट्रिक्स ऑपरेटर के कर्नेल की गणना समीकरण से की जाती है

इस प्रकार,

(मनमाना स्थिरांक).

मैट्रिक्स ऑपरेटर की छवि मैट्रिक्स के सभी रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों द्वारा फैली हुई है, अर्थात।

(मनमाना स्थिरांक)।

में सदिश स्थल वी एक मनमाना क्षेत्र पर पी रैखिक पर सेट करें ऑपरेटर .

परिभाषा9.8. मुख्यरैखिक संचालिका  अंतरिक्ष में सदिशों का समुच्चय है वी, जिसकी छवि शून्य वेक्टर है। स्वीकृत इस सेट के लिए संकेतन: केर, यानी

केर = {एक्स | (एक्स) = हे}.

प्रमेय 9.7.एक रैखिक ऑपरेटर का कर्नेल अंतरिक्ष का एक उपस्थान है वी.

परिभाषा 9.9.आयाम लीनियर ऑपरेटर के कर्नेल को कहा जाता है दोषरैखिक ऑपरेटर. मंद केर = डी.

परिभाषा 9.10.हिसाब सेरैखिक ऑपरेटर  छवियों का सेट है अंतरिक्ष सदिश वी. इस सेट के लिए संकेतन मैं हूँ, यानी मैं हूँ = {(एक्स) | एक्स वी}.

प्रमेय 9.8.छवि रैखिक संचालिका अंतरिक्ष का एक उपस्थान है वी.

परिभाषा 9.11.आयाम एक रैखिक ऑपरेटर की छवि को कहा जाता है पदरैखिक ऑपरेटर. धुंधला मैं हूँ = आर.

प्रमेय 9.9.अंतरिक्ष वीकर्नेल का सीधा योग और उसमें निर्दिष्ट रैखिक ऑपरेटर की छवि है। एक रैखिक ऑपरेटर के रैंक और दोष का योग स्थान के आयाम के बराबर है वी.

उदाहरण 9.3. 1) अंतरिक्ष में आर[एक्स] ( 3) रैंक और दोष खोजें ऑपरेटर भेदभाव आइए उन बहुपदों को खोजें जिनका अवकलज शून्य के बराबर है। इसलिए, ये शून्य घात वाले बहुपद हैं केर = {एफ | एफ = सी) और डी= 1. बहुपदों के व्युत्पन्न जिनकी घात तीन से अधिक नहीं होती, बहुपदों का एक समूह बनाते हैं जिनकी घात दो से अधिक नहीं होती, इसलिए, मैं हूँ =आर[एक्स] ( 2) और आर = 3.

2) यदि रैखिक ऑपरेटर एक मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है एम(), तो इसके कर्नेल को खोजने के लिए किसी को हल करना होगा समीकरण ( एक्स) = हे, जो मैट्रिक्स रूप में इस तरह दिखता है: एम()[एक्स] = [हे]. से यह इस प्रकार है कि एक रैखिक ऑपरेटर के कर्नेल का आधार मुख्य मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का मौलिक सेट है एम(). एक रैखिक ऑपरेटर की छवि के जनरेटर की प्रणाली सदिश बनाओ ( इ 1), (इ 2), …, (इ एन). वैक्टर की इस प्रणाली का आधार रैखिक ऑपरेटर की छवि का आधार देता है।

9.6. व्युत्क्रमणीय रैखिक ऑपरेटर

परिभाषा9.12. रेखीय ऑपरेटर  को बुलाया जाता है प्रतिवर्ती, यदि मौजूद है रेखीय ऑपरेटर ψ ऐसा क्या हो रहा है समानता ψ = ψ = , जहां  पहचान ऑपरेटर है।

प्रमेय 9.10.यदि रैखिक ऑपरेटर  प्रतिवर्ती, वह ऑपरेटर ψ विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है और कहा जाता है रिवर्स के लिए ऑपरेटर .

इस मामले में ऑपरेटर, ऑपरेटर का व्युत्क्रम है , निरूपित  -1.

प्रमेय 9.11.रैखिक संचालिका  व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है एम(), जबकि एम( –1) = (एम()) –1 .

इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक व्युत्क्रमणीय रैखिक संचालिका की रैंक बराबर होती है DIMENSIONS स्थान, और दोष शून्य है.

उदाहरण 9.4 1) निर्धारित करें कि क्या रैखिक उलटा है ऑपरेटर , यदि ( एक्स) = (2एक्स 1 – एक्स 2 , –4एक्स 1 + 2एक्स 2).

समाधान. आइए इस रैखिक ऑपरेटर के लिए एक मैट्रिक्स बनाएं: एम() = . क्योंकि
= 0 फिर मैट्रिक्स एम() अपरिवर्तनीय है अर्थात यह अपरिवर्तनीय एवं रैखिक है ऑपरेटर .

2) खोजो रेखीय ऑपरेटर, पीछे ऑपरेटर , यदि (एक्स) = (2एक्स 1 + एक्स 2 , 3एक्स 1 + 2एक्स 2).

समाधान।इस रैखिक का मैट्रिक्स ऑपरेटर के बराबर एम() =
, प्रतिवर्ती है, क्योंकि | एम()| ≠ 0. (एम()) –1 =
, इसलिए  -1 = (2एक्स 1 – एक्स 2 , –3एक्स 1 + 2एक्स 2).