МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Г.И. НОСОВА»

КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.И. Петухова, Л.В. Яббарова, Ю.И. Мамлеева

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики 3

1.2.3. Расчет цепей при смешанном соединении элементов 7

1.2.4. Преобразование активных нелинейных двухполюсников 8

1.2.5. Анализ разветвленных цепей 10

1.3. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов 12

1.3.1. Выбор аппроксимирующей функции 12

1.3.3. Аппроксимация ВАХ в окрестностях рабочей точки 18

2. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 19

2.1. Основные понятия 19

2.2. Законы Ома и Кирхгофа для магнитных цепей 21

2.3. Расчет магнитных цепей постоянного тока 23

3.1. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными нелинейными элементами 27

3.2. Особенности периодических процессов в цепях с безинерционными нелинейными сопротивлениями 30

3.3. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником 31

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики

Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).

Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.

Таким образом, инерционный нелинейный элемент является линейным относительно мгновенных значений тока и напряжения, а ВАХ, связывающая действующие значения оказывается нелинейной. Безинерционные элементы являются нелинейными как в отношении мгновенных значений
,
, так и в отношении действующихи.

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:

,
. (1)

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.

Отношение напряжения, измеряемого отрезком АВ к току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.), определяет в некотором масштабе
статическое сопротивлениеR в точке А.

(2)

Предел отношения приращения напряжения на участке цепи к приращению тока в нем или производная от напряжения по току в том же масштабе
, определяет дифференциальное сопротивление:

. (3)

Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ иливсегда больше нуля.

Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).

Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов

а) немонотонная N -типа; б) немонотонная S – типа;

в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.

Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.

Рис.3. Электрически управляемый элемент

а) транзистор; б) семейство входных ВАХ;

в) семейство выходных ВАХ.

Важнейший класс нелинейных элементов составляют электрическиуправляемые элементы(транзисторы, тиристоры, и т.д.). Они имеют два основных электрода и один управляющий (рис.3.а). Ток элемента определяется уравнениями:

или
. (4)

Выводы нелинейного управляемого трёхполюсника образуют с остальной частью цепи два контура – основной (выходной) и управляющий (входной).

Управляемые элементы характеризуются семействами ВАХ: выходными и входными. (рис.3.б,с)

Вид ВАХ нелинейного управляемого элемента существенно зависит от схемы включения элемента, т.е. от того какой из электродов является общим для основного и управляющего контуров. На принципиальных электрических схемах реальные нелинейные элементы изображаются с помощью установленных ЕСКД условных графических обозначений (рис.4).

Рис.4 Обозначения нелинейных элементов

Нелинейные элементы можно разделить на три группы: нели­нейные активные сопротивления r, нелинейные индуктивности L и нелинейные емкости С. Примером нелинейных активных сопро­тивлений являются вакуумные и полупроводниковые диоды и триоды, нелинейных индуктивностей - индуктивные катушки и трансформаторы с магнитопроводом, нелинейных емкостей - кон­денсаторы с диэлектриком из сегнетоэлектрика.

В каждой из этих групп нелинейные элементы, в свою очередь, можно разделить на два класса: неуправляемые и управляемые нелинейные элементы.

Неуправляемые нелинейные элементы всегда можно предста­вить в виде двухполюсника. Ток этого двухполюсника зависит только от напряжения, приложенного к его зажимам. Такой нели­нейный элемент характеризуется одной вольт-амперной характери­стикой. Примером неуправляемого нелинейного сопротивления яв­ляется вакуумный или полупроводниковый диод.

Управляемые нелинейные элементы обычно являются многопо­люсниками. Ток в главной цепи такого элемента зависит не только от напряжения, приложенного к главной цепи, но и от других па­раметров (управляющих факторов). Управляющие факторы могут быть электрическими и неэлектрическими. Примерами управляе­мых нелинейных элементов с электрическим управляющим фак­тором являются многоэлектродные электронные лампы и магнит-

ные усилители. Примером управляемого нелинейного сопротивле­ния с неэлектрическим управляющим фактором является фоторе­зистор, величина тока через который зависит от величины осве­щенности.

Неуправляемые нелинейные активные сопротивления по прин­ципу тепловой инерционности можно разделить на две группы: инерционные и безынерционные.

Примером инерционных сопротивлений являются лампы нака­ливания и термисторы. У этих элементов существенно нелинейной является зависимость только между действующими или амплитуд­ными значениями токов и напряжений. Из-за тепловой инерцион­ности за время периода синусоидального тока сопротивление этих элементов меняется несущественно. Поэтому с достаточной для практики точностью можно считать, что зависимость между мгно­венными значениями тока и напряжения в пределах одного пе­риода является линейной.

Примером безынерционных сопротивлений являются ламповые и полупроводниковые диоды и триоды при не очень высоких часто­тах. Здесь характеристики нелинейны как для действующих, так и для мгновенных значений токов и напряжений.

Следует отметить, что все реальные элементы электрических цепей обладают некоторой нелинейностью. Поэтому деление элек­трических цепей на линейные и нелинейные является условным. Элемент цепи может считаться линейным или нелинейным в зави­симости от степени нелинейности и той задачи, которая ставится при рассмотрении данной цепи.

Классификация нелинейных элементов

Нелинейные цепи - это цепи, в которых есть хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейный элемент - это элемент, для которого связь тока и напряжения задают нелинейным уравнением.

В нелинейных цепях не выполняется принцип наложения, и поэтому нет общих методов расчёта. Это вызывает необходимость разработки специальных методов расчета для каждого типа нелинейных элементов и режима их работы.

Нелинейные элементы классифицируют:

1) по физической природе: проводниковые, полупроводниковые, диэлектрические, электронные, ионные и т.д.;

2) по характеру делят на резистивные, емкостные и индуктивные;

ВАХ КВХ ВАХ

3) по виду характеристик все элементы делят

На симметричные и несимметричные. Симметричные - это такие, у которых характеристика симметрична относительно начала координат. Для не симметричных элементов раз и навсегда выбирают положительное направление напряжения или тока и для них в справочниках приводится ВАХ. Только такое направление можно использовать при решении задач с использованием этих ВАХ.

На однозначные и неоднозначные. Неоднозначные, когда одному значению тока или напряжения на ВАХ соответствуют несколько точек;

4) инерционные и безынерционные элементы. Инерционными элементами называют такие элементы, у которых нелинейность обусловлена нагревом тела при прохождении тока. Т. к. температура не может изменяться сколь угодно быстро, то при прохождении по такому элементу переменного тока с достаточно высокой частотой и неизменным действующим значением, температура элемента остается практически постоянной в течение всего периода изменения тока. Поэтому для мгновенных значений элемент оказывается линейным и характеризуется какой-то постоянной величиной R (I,U). Если же изменится действующее значение тока, то изменится температура и получится другое сопротивление, т. е. для действующих значений элемент станет нелинейным.

5) управляемые и неуправляемые элементы. Выше мы говорили о неуправляемых элементах. К управляемым элементам относят элементы с тремя и более выводами, у которых, изменяя ток или напряжение на одном выводе, можно менять ВАХ относительно других выводов.

Параметры нелинейных элементов и некоторые схемы их замещения

В зависимости от конкретной задачи удобно применять те или иные параметры элементов и общее число их велико, но чаще всего используют статические и дифференциальные параметры. Для резистивного двухполюсного элемента это будут статическое и дифференциальное сопротивления.

В заданной точке ВАХ

В заданной рабочей точке ВАХ

1. Дают небольшое приращение напряжения. Находят по ВАХ, вызванное этим приращением, приращение тока и берут их отношение. Недостатком этого способа является то, что для повышения точности расчета нужно уменьшать U и I, но при этом трудно работать с графиком.

2. К заданной точке кривой проводят касательную и тогда по геометрическому определению производной, получают

Где приращения берут на этой касательной и могут быть сколь угодно большими.

Если известен режим работы нелинейного элемента, то в этой точке известно его статическое сопротивление, а также напряжение и ток, поэтому его можно заменить одним из 3-х способов.

Если известно, что во время работы цепи ток и напряжение меняются в пределах «более-менее прямолинейного участка ВАХ», то этот участок описывают линейным уравнением и ставят ему в соответствие такую эквивалентную схему.

Линеаризуют этот участок уравнением вида U=a+ib.Получают для него коэффициенты уравнения.

При i=0 и U=U 0 =а,

усреднённое значение на этом участке.

Тогда, что соответствует следующей схеме замещения:

Эта схема будет справедлива для участка, ограниченного волнистой линией.

То же самое выражение можно записать по-другому:

Поэтому в некоторых задачах, где заранее известно, что токи и напряжения нелинейного элемента представляют в виде суммы постоянной составляющей Uрт, Iрт и переменной составляющей u ~ , i ~ c амплитудой << чем величина постоянной составляющей, отдельно рассчитывают режим на постоянном токе (напряжении) и отдельно для переменной составляющей. Из записей видно, что двухполюсный элемент для малой переменной составляющей можно заменить просто дифференциальным сопротивлением в рабочей точке.

Этот же подход применяют и в схемах с многополюсными элементами, но там не удаётся ввести только одно сопротивление, т. к. Ч. П. характеризуются четырьмя коэффициентами уравнений. Но можно найти эти коэффициенты для малых переменных составляющих токов и напряжений.

Пример: Биполярный транзистор (схема с общим эмиттером).

Пусть известно, что u j =U p ф+u kj , i j =I p ф+i kj

Схема замещения:

Применим дифференцирующие параметры и получим в форме «И».

u бк =h 21 i б +h 12 u кэ

i кэ =h 21 i б +h 22 u кэ

U бэ =H 11 I б +H 21 U кэ

Эти уравнения пишут для переменных составляющих, потому что изменяется процедура расчета элементов.

H 11 =U бэ /I б при I б =0, т.е. i б =I бр.т.

H 12 =U бэ /U кэ при I б =0

H 21 =I к /I б при U кэ =0

H 22 =I к /U кэ при I б =0, т.е. i б =I бр.т.

h 12 =ДU бэ /ДU кэ h 21 =Дi к /Дi б h 22 =Дi к /Дu кэ,

где I, U есть приращения токов и напряжений в окрестности рабочей точки.

Вольтамперные характеристики данного нелинейного элемента.

Методы расчёта нелинейных цепей постоянного тока

Различают: численные, аналитические и графические методы.

1) Численные - это методы численного решения нелинейных уравнений. Обычно используют ЭВМ. Они позволяют решить широкий круг задач, но ответ получается в виде числа.

2) Аналитические - это методы, в основе которых лежит аппроксимация ВАХ какой-нибудь подходящей функции. Если эта функция нелинейная, то получается нелинейная система уравнений. Чтобы она могла быть решена, приходиться очень аккуратно выбирать аппроксимирующую функцию.

Классификация нелинейных элементов

Нелинейные электрические цепи

РАЗДЕЛ II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Нелинейные цепи - это цепи, в которых есть хотя бы один нелинейный элемент, Нелинейный элемент - это элемент, для которого связь тока и напряжения задают нелинейным уравнением.

В нелинейных цепях не выполняется принцип наложения, и поэтому нет общих методов расчёта. Это вызывает необходимость разработки специальных методов расчета для каждого типа нелинейных элементов и режима их работы.

Нелинейные элементы классифицируют:

1) по физической природе : проводниковые, полупроводниковые, диэлектрические, электронные, ионные и т.д.;

2) по характеру делят на резистивные, емкостные и индуктивные;

ВАХ КВХ ВАХ

3) по виду характеристик все элементы делят

На симметричные и несимметричные. Симметричные – это такие, у которых характеристика симметрична относительно начала координат. Для не симметричных элементов раз и навсегда выбирают положительное направление напряжения или тока и для них в справочниках приводится ВАХ. Только такое направление можно использовать при решении задач с использованием этих ВАХ.

На однозначные и неоднозначные. Неоднозначные, когда одному значению тока или напряжения на ВАХ соответствуют несколько точек;

4) инерционные и безынерционные элементы. Инерционными элементами называют такие элементы, у которых нелинейность обусловлена нагревом тела при прохождении тока. Т. к. температура не может изменяться сколь угодно быстро, то при прохождении по такому элементу переменного тока с достаточно высокой частотой и неизменным действующим значением, температура элемента остается практически постоянной в течение всего периода изменения тока. Поэтому для мгновенных значений элемент оказывается линейным и характеризуется какой-то постоянной величиной R (I,U). Если же изменится действующее значение тока, то изменится температура и получится другое сопротивление, т. е. для действующих значений элемент станет нелинейным.

5) управляемые и неуправляемые элементы. Выше мы говорили о неуправляемых элементах. К управляемым элементам относят элементы с тремя и более выводами, у которых, изменяя ток или напряжение на одном выводе, можно менять ВАХ относительно других выводов.

В зависимости от конкретной задачи удобно применять те или иные параметры элементов и общее число их велико, но чаще всего используют статические и дифференциальные параметры. Для резистивного двухполюсного элемента это будут статическое и дифференциальное сопротивления.

В заданной точке ВАХ

В заданной рабочей точке ВАХ

1. Дают небольшое приращение напряжения. Находят по ВАХ, вызванное этим приращением, приращение тока и берут их отношение. Недостатком этого способа является то, что для повышения точности расчета нужно уменьшать DU и DI , но при этом трудно работать с графиком.

2. К заданной точке кривой проводят касательную и тогда по геометрическому определению производной, получают

Где приращения берут на этой касательной и могут быть сколь угодно большими.

Если известен режим работы нелинейного элемента, то в этой точке известно его статическое сопротивление, а также напряжение и ток, поэтому его можно заменить одним из 3-х способов.

Если известно, что во время работы цепи ток и напряжение меняются в пределах «более-менее прямолинейного участка ВАХ», то этот участок описывают линейным уравнением и ставят ему в соответствие такую эквивалентную схему.

Линеаризуют этот участок уравнением вида U=a+ib .Получают для него коэффициенты уравнения.

При i =0 и U=U 0 =а ,

Путём взаимных подстановок в полученных выражениях мы можем получить выражения для R ab , R bc и R ca (т. е. выражения для преобразования звезды в треугольник):

R ab = R a + R b + R a R b ;

R bc = R b + R c + R b R c ;

R ca = R c + R a + R c R a .

1.5.1. Общие сведения

Нелинейная электрическая цепь это электрическая цепь, содержащая один или несколько нелинейных элементов [ 1 ] .

Нелинейный элемент это элемент электрической цепи, параметры которого зависят от определяющих их величин (сопротивление резистивного элемента от тока и напряжения, ёмкость емкостного элемента от заряда и напряжения, индуктивность индуктивного элемента от магнитного потока и электрического тока).

Таким образом, вольт–амперная u (i ) характеристика резистивного элемента, вебер–амперная ψ(i ) характеристика индуктивного элемента и кулон–вольтная q (u ) характеристика емкостного элемента имеют вид не прямой линии (как в случае линейного элемента), а некой кривой, обычно определяемой экспериментально и не имеющей точного аналитического представления.

Нелинейная электрическая цепь обладает рядом существенных отличий от линейной и в ней могут возникать специфические явления

Рис. 1.28. УГО нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов

(например гистерезис), поэтому этого методы расчёта линейных цепей к нелинейным цепям неприменимы. Особо следует отметить неприменимость к нелинейным цепям метода наложения (суперпозиции).

Важно понимать, что характеристики реальных элементов никогда не бывают линейными, однако в большинстве инженерных расчётов они, с допустимой точностью, могут считаться линейными.

Все полупроводниковые элементы (диоды, транзисторы, тиристоры и т. д.) являются нелинейными элементами.

Условные графические обозначения нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов приведены на рис. 1.28 . На выносной площадке мажет указываться параметр, вызывающий нелинейность (например температура для терморезистора)

1.5.2. Параметры нелинейных элементов

Нелинейные элементы характеризуются статическими (R ст , L ст , и C ст ) и дифференциальными (R д , L д , и C д ) параметрами.

Статические параметры нелинейного элемента определяются как отношение ординаты выбранной точки характеристики к её абсциссе (рис. 1.29 ).

Статические параметры пропорциональны тангенсу угла наклона прямой, проведённой через начало координат и точку, для которой производится расчёт. Для примера на рис. 1.29 получим:

F ст = y A = m y tg α, x A m x

где α–– угол наклона прямой, проведённой через начало координат и рабочую точку A ;

m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно.

Рис. 1.29. К определению статических и дифференциальных параметров

нелинейных элементов

F ст = y A , F диф = dy x A dx

Отсюда статические параметры резистивного, индуктивного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

Дифференциальные параметры нелинейного элемента определяются как отношение малого приращения ординаты выбранной точки характеристики к малому приращению её абсциссы (рис. 1.29 ).

Дифференциальные параметры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке характеристики и осью абсцисс. Для примера на рис. 1.29 получим:

F диф = dy = m y tg β, dx m x

где β –– угол наклона касательной в рабочей точке B характеристики и осью абсцисс;

m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно. Отсюда дифференциальные параметры резистивного, индуктив-

ного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

1.5.3. Методы расчёта нелинейных цепей

Нелинейность параметров элементов усложняет расчёт цепи, поэтому в качестве рабочего участка стараются выбрать либо линейный, либо близкий к нему участок характеристики и рассматривают, с допустимой точностью, элемент как линейный. Если же это невозможно или нелинейность характеристики является причиной выбора элемента (особенно это характерно для полупроводниковых элементов), то применяют специальные методы расчёта –– графический , аппроксимации

(аналитической и кусочно–линейной) и ряд других. Рассмотрим эти методы более подробно.

Графический метод

Идея метода состоит в построении характеристик элементов цепи (вольт–амперной u (i ), вебер–амперной ψ(i ) или кулон–вольтной q (u )), а затем, путём их графических преобразований (напр. сложения), получения соответствующей характеристики для всей цепи или её участка.

Графический метод расчёта является наиболее простым и наглядным в применении, обеспечивая в основной массе расчётов необходимую точность, однако он применим для небольшого количества нелинейных элементов в цепи и требует аккуратности при проведении графических построений.

Пример расчёта нелинейной цепи графическим методом для последовательного соединения линейного и нелинейного резистивных элементов приведён на рис. 1.30 , а , для параллельного –– на рис. 1.30 , б .

При расчёте последовательной цепи в одних осях строятся характеристики всех рассчитываемых элементов (для рассматриваемого примера это u нэ (i ) для нелинейного резистора R нэ и u лэ (i ) для линейного R лэ ). Характер изменения общего напряжения в цепи u (i ) определяется путём сложения характеристик нелинейного u нэ (i ) и линейного u лэ (i ) элементов u (i ) = u нэ (i ) + u лэ (i ). Сложение производится при одинаковых значении тока (для i = i 0 : u 0 = u нэ 0 + u лэ 0 , см. рис. 1.30 , а .).

Расчёт параллельной цепи производится аналогично, только характеристика всей цепи строится путём сложения токов, при постоянном напряжении (для u = u 0 : i 0 = i нэ 0 + i лэ 0 , см. рис. 1.30 , б .).

Рис. 1.31. Активный линейный двухполюстник в качестве схемы замещения нелинейного элемента

Метод аппроксимации

Идея метода состоит в замене экспериментально полученной характеристики нелинейного элемента аналитическим выражением.

Различают аналитическую аппроксимацию, при которой характеристика элемента заменяется аналитической функцией (например линейной y = ax + b , сте-

сом y = a th βx и другими) и кусочно–ли-

нейную , при которой характеристика элемента заменяется совокупностью прямоли-

нейных отрезков. Точность аналитической аппрокси-

мации определяется правильностью выбора аппроксимирующей функции и точностью подбора коэффициентов. Преимуществом кусочно–линейной аппроксимации является простота применения и возможность рассмотрения элемента как линейного.

Кроме того, в ограниченном диапазоне изменений сигнала, в котором его изменения можно считать линейным (т. е. в режиме малого сигнала ), нелинейный элемент, с допустимой точностью, может быть заменён эквивалентным линейным активным двухполюстником (рис. 1.31 , более подробно двухполюстник будет рассмотрен в § 2.3.4 ), где ток и напряжение связаны выражением:

U = E + Rдиф I ,

где R диф –– дифференциальное сопротивление нелинейного элемента на линеаризуемом участке.

Пример аналитической аппроксимации характеристики полупроводникового диода с помощью функции вида i = a (e bu − 1) приведён на рис. 1.32 , б , кусочно–линейной аппроксимации –– на рис. 1.32 , в , исходная характеристика диода приведена на рис. 1.32 , а .

Рис. 1.32. Аппроксимации характеристики полупроводникового диода.

а –– исходная характеристика диода;

б –– аналитическая аппроксимация с помощью функции вида i = a (e bu − 1);

в –– кусочно–линейная аппроксимация.